Sur une famille de courbes, que l'on rencontre dans les transmissions de mouvement et sur leur application dans les machines. (Q1546932)

Wenn eine starre Strecke \(BC=l\) mit ihren Endpunkten \(B\) und \(C\) in zwei Kreisen gerführt wird, deren Radien bezüglich \(r\) und \(R\) sind, so wird jeder mit der Strecke \(BC\) starr verbundene Punkt eine Bahn beschreiben, welche einerseits von der Lage des Punktes gegen die Strecke \(BC\) und andererseits von den die Führung bedingenden Grössen abhängt. Wird die Grösse \(r\) gegen \(l\) und \(R\) klein geschätzt, ein Fall, der für Anwendungen in der praktischen Mechanik von Bedeutung ist, und die Rechnung unter der Bedingung geleitet, dass die Potenzen von \(\frac r l = e\), welche die zweiten übersteigen, sowie alle Grössen derselben Ordnung vernachlässigt werden, so wird der Charakter der Trajectorie eines Punktes durch die Gleichungen gegeben \[ x = \frac {\varphi (t)} {(1 + t^2)^2};\qquad y = \frac {\psi (t)} {(1 + t^2)^2}, \] worin \(\varphi(t)\) und \(\psi(t)\) rationale ganze Functionen vierten Grades bedeuten. Die Bahnen sind also einläufige Curven vierten Grades und gehören zu der Kategorie der Curven mit drei Doppelpunkten, welche als reciproke Gebilde von Kegelschnitten betrachtet werden können. Die betreffenden Curven können auch unter folgender Form dargestellt werden: \[ x = A_0 + e (A \cos \theta + B \sin \theta) + \frac {e^2} {2} (A_1 \cos 2 \theta + B_1 \sin 2 \theta), \] \[ y = C_0 + e (C \cos \theta + D \sin \theta) + \frac {e^2} {2} (C_1 \cos 2 \theta + D_1 \sin 2 \theta), \] worin der Parameter \(\theta\) die augenblickliche Lage von \(r\) bestimmt, und aus dieser Form wird geschlossen, dass die Curven erzeugt gedacht werden können durch einen beweglichen Punkt, welcher die Ellipse \((E_2)\) durchläuft: \[ x = \frac {e^2} {2} (A_1 \cos 2 \theta + B_1 \sin 2 \theta);\qquad y = \frac {e^2} {2} (C_1 \cos 2 \theta + D_1 \sin 2 \theta), \] während das Centrum dieses Kegelschnitts selbst eine Ellipse \((E_1)\) durchschreitet: \[ x = A_0 + e (A \cos \theta + B \sin \theta);\qquad y = C_0 + e (C \cos \theta + D \sin \theta). \] Die von den Mittelpunkten der Ellipse aus geschätzten Flächengeschwindigkeiten beider Punkte bewahren ein constantes Verhältniss, und zwar vollzieht der erste bewegliche Punkt zwei vollständige Umdrehungen, während der zweite eine solche macht. Die Klassification der Curven hängt nun von den Besonderheiten ab, welche diese Ellipsen darbieten. Bestimmten Singularitäten der Ellipsen entsprechen bestimmte beschreibende Punkte des beweglichen Systems; ihre Lage in demselbe zu ermitteln, ist der Gegenstand der weiteren Analyse. Die Ergebnisse derselben werden endlich angewandt auf die Frage, wie ein gegebener einfacher Curvenbogen am zweckmässigsten durch die Bahn eines Systempunktes ersetzt werden kann.