Investigation of the character of the equilibrium of an incompressible heavy fluid of variable density. (Q1547039)

Zur Entscheidung der Frage, ob das Gleichgewicht einer schweren incompressiblen Flüssigkeit stabil sei oder nicht, untersucht der Verfasser die Bewegungen, die in der Flüssigkeit durch kleine Störungen des Gleichgewichts entstehen. Die Flüssigkeit, auf welche von äusseren Kräften nur die Schwere wirkt, wird von variabler Dichte angenommen. In der Gleichgewichtslage sind dann Druck und Dichtigkeit nur von der verticalen Coordinate \(z\) abhängig. Auf die in einer solchen Flüssigkeit entstehende Bewegung werden nun die hydrodynamischen Gleichungen (ohne Reibung) angewandt, wobei die Geschwindigkeiten, wie die Aenderungen des Drucks und der Dichtigkeit als kleine Grössen betrachtet werden, deren Quadrate zu vernachlässigen sind; und zwar wird eine Particularlösung dieser Gleichugen gesucht, bei der die horizontalen Geschwindigkeitscomponenten die Form \(e^{i \kappa x} e^{int}\), resp. \(e^{i \kappa' x} e^{int}\) haben, während die verticale Geschwindigkeitscomponente \(we^{int}\) ist. Durch einfache Elimination ergiebt sich aus den drei hydrodynamischen Gleichungen, der Continuitätsgleichung, sowie einer weiteren, welche ausdrück, dass die Dichtigkeit ein und desselben Flüssigkeitsteilchens ungeändert bleibt, folgende Differentialgleichung für \(w\): \[ (A)\qquad \frac{d^2 w}{dz^2} - (\kappa^2 + {\kappa'}^2) w + \frac 1 \sigma \frac{ds}{dz} \left\{ \frac{dw}{dz} - (\kappa^2 + {\kappa'}^2) \frac{g}{n^2} w \right\} = 0 ; \] in derselben ist \(\sigma\) die als bekannt vorausgesetzte Dichtigkeit im Ruhezustande, \(g\) die Constante der Schwerkraft. Ist \(w'\) eine zweite particuläre Lösung (für ein anderes \(n\)), und integrirt man \((A)\) nach Multiplication mit \(w'\) zwischen solchen Grenzen, für die \(w\) und \(w'\) verschwinden, so erhält man eine Gleichung, aus der folgt, dass \(n\) nicht complexe Werte annehmen kann. Weiter folgt für \(w=w'\), dass \(n^2\) das entgegengesetzte Zeichen von \(\frac{d\sigma}{dz}\) hat, falls diese Grösse ihr Zeichen nicht ändert, dass also nur dann \(n\) reell, mithin nur dann das Gleichgewicht stabil ist, wenn \(\frac{d\sigma}{dz}\) überall negativ ist, also die Dichtigkeit \(\sigma\) nach unten zunimmt. Aus dem Umstande, dass man die Gleichung \((A)\) auch als die Differentialgleichung eines gewissen Problems der Variationsrechnung auffassen kann, folgt endlich, dass Bewegungen, für die \(n^2\) negativ ist, auch dann eintreten können, wenn \(\frac{d\sigma}{dz}\) teils positiv, teils negativ ist. Ausser diesen allgemeinen Resultaten enthält die Arbeit noch die Integration der Gleichung \((A)\) in einigen speciellen Fällen, sowie die genauere Discussion der sich dabei ergebenden Resultate. Im ersten dieser Fälle wird \(\frac 1 \sigma \frac{d\sigma}{dz}\) als constant, die Flüssigkeit als durch zwei feste horizontale Ebenen begrenzt angenommen. Im zweiten Falle ist die Dichtigkeit der Flüssigkeit für \(z>l\) und \(z<0\) constant, von \(z=0\) bis \(z=l\) dagegen derart veränderlich, dass wieder \(\frac 1 \sigma \frac{d\sigma}{dz}\) constant ist.