On the equilibrium of a gravitating originally homogeneous solid sphere (Q1547089)

Die Grundformeln der Elasticitätstheorie werden angewandt auf die Untersuchung des endlichen Gleichgewichts, der Compression, der Dichtigkeitsverhältnisse etc. einer ursprünglich homogenen festen Kugel, deren Massenteilchen nur der gegenseitigen Gravitation unterworfen sind. Für die Verlängerung der Längeneinheit \(\varrho\), für das Mass der wahren Ausdehnung im Punkte \((x, y, z), \sigma=\frac{d(r\varrho)}{dr}\), und für die Ausdehnung der Volumeneinheit \(\vartheta\) ergeben sich die Werte: \[ \varrho = -B\left({\frac {3-\mu}{1+\mu}} a^2-r^2\right), \] \[ \sigma = -B\left({\frac {3-\mu}{1+\mu}} a^2-3r^2\right), \] \[ \vartheta =-B\left({\frac{9-3\mu}{1+\mu}} a^2-5r^2\right), \] wenn \[ B=\frac {2\pi\varepsilon}{15}\frac {h^2(1-2\mu)(1+\mu)}{E(1-\mu)}\cdot \] Hier bedeutet \(a\) den Radius der Kugeloberfläche, \(r\) den Abstand des Punktes \((x, y, z)\) vom Centrum, \(\mu\) das Verhältnis der Quercontraction zur Längendilatation, \(E\) den Elasticitätsmodul; \(h\) die Dichtigkeit, \(\varepsilon\) die Anziehung zweier Masseneinheiten in der Entfernung 1. Bemerkenswert ist, dass, wie der Ausdruck für \(\sigma\) lehrt, eine Längenausdehnung stattfindet, so lange \(r > a\sqrt{\frac {3-\mu}{3+3\mu},}\) und dass erst für kleine Werte von \(r\) eine radiale Compression eintritt. Aus den angeführten Formeln ergeben sich leicht noch die Werte für den radialen Druck, den Seitendruck und die Dichtigkeitsänderung. Die Formeln werden angewandt auf eine Stahlkugel von der Grösse der Erde, wobei sich u. a. ergiebt, dass der Radius sich um die Länge von 1,86 km verkürzen würde. Die erste Lösung der Aufgabe, bei der nicht berücksichtigt wurde, dass die Kugel infolge der Gravitation ihrer Massenteile nicht homogen bleibt, und dass also auch die Gravitationswirkung sich ändern muss, erfährt eine Correction; die Werte von \(\varrho, \sigma, \vartheta\) werden unter Berücksichtigung der Dichtigkeitsänderung ermittelt, und es wird gezeigt, wann man sich mit den zuerst gefundenen Werten begnügen darf. Die Untersuchung hat ein besonderes Interesse mit Rücksicht auf die von Thomson nachgewiesene Möglichkeit eines starren Erdinneren, wenngleich eine directe Anwendung der gefundenen Resultate auf den Gleichgewichtszustand der Erde nicht statthaft ist.