On the longitudinal shock of a prismatic rod which is fixed at one end and knocked against at the other (Q1547104)

Der Verfasser lässt eine Schrift drucken (Application des potentiels à l'étude de l'équilibre et du mouvement des solides élastiques, avec des notes étendues sur divers points de Physique mathematique et d'Analyse), in welcher die Theorie für den Stoss eines Stabes gegeben wird, der sich längs der \(x\)-Axe von \(x = 0\) bis \(x = a\) ausdehnt, bei \(x = a\) frei oder fest ist und zur Zeit \(t = 0\) bei \(x = 0\) von einem sich mit der Geschwindigkeit \(V\) längs der \(x\)-Axe bewegenden Körper gestossen wird. In der von de St.-Venant unter Mitwirkung von Flamant herausgegebenen Uebersetzung von Clebsch's Elasticitätstheorie sind des Verfassers Beweise und Formeln fast vollständig wiedergegeben. Wenn \(k\) das Verhältnis der Masse des stossenden Körpers zu der des Stabes, \(\omega\) die Fortpflanzungsgeschwindigkeit des Schalles längs des Stabes und \({\frac\varepsilon \omega}\) die sehr kleine Zeit bezeichnet, welche nothwendig ist, damit das gestossene Ende \(x = 0\) die Geschwindigkeit \(V\) des stossenden Körpers annimmt, ergiebt sich besonders: 1) dass die Verrückungen \(u\) der verschiedenen Punkte des Stabes ausgedrückt sind durch \[ u = f(\omega t-x)-f(\omega t+x-2a), \] in welcher Gleichung die Function \(f(\zeta),\) welche für \(\zeta = -\infty\) gleich Null ist, als Ableitung. eine Function \(f'(\zeta)\) hat, die gleich Null ist, so lange \(\zeta\) einen negativen Wert besitzt, dann bis \({\frac V \omega}\) schnell wächst, während \(\zeta\) von 0 bis \(\varepsilon\) zunimmt, und darauf die Gleichung erfüllt \[ f'(\zeta) - f'(\zeta-2a)={\frac V \omega} - {\frac{f(\zeta)+f (\zeta-2a)}{ak}} \] bis zu einem Werte \(\zeta=\zeta_1\), welcher stets grösser ist, als \(2a+\varepsilon\), und der Zeit \(t_1=\frac{\zeta_1}{\omega}\) entspricht, wann der stossende Körper sich vom Stabe trennt, von welchem Augenblicke an ist: \[ f'(\zeta)-f'(\zeta-2a)=0; \] 2) dass die Function \(f'(\zeta)\) von \(\zeta=0\) bis \(\zeta=\zeta_1\) zwischen den Minimal- und den Maxmimalwerten \(f'(0)\), \(f'(\varepsilon)\), \(f'(2a)\), \(f'(2a+\varepsilon)\), \(f'(4a)\), \(f'(4a+\varepsilon)\) u. s. w. schwankt, indem jedes Maximum \(f'(2na+\varepsilon)\) um \(\frac V\omega\) grösser ist als das vorhergehende Minimum \(f'(2na)\) und die Reihe der Maximalwerte zuerst eine wachsende und dann eine abnehmende Reihe bildet; 3) dass \(\zeta_1\) und folglich die Zahl der Maximalwerte \(f'(\zeta)\) um so grösser ist, einen je grösseren Wert \(k\) hat; 4) dass die grösste Deformation \[ -\delta=f'(\omega t-x)+f'(\omega t+x+2a) \] am festen Ende \(x = a\) vorhanden ist und den doppelten Wert, nämlich \(2f'(2na+\varepsilon)\), des grössten Wertes der Maxima hat. Der Verfasser beschränkt sich hier auf den Fall, dass die auf einander folgenden Minima und Maxima von \(f'(\zeta)\) in hohem Masse die unregelmässigen Schwankungen von der Länge \(2a\) und von einer Amplitude, die mit \(\frac V\omega\) vergleichbar ist, übersteigt. An Stelle von \(f(\zeta)\) wird die neue Function \[ \psi(\zeta) = \int_{-a}^a f(\zeta-a+\theta)\;\frac{d\theta}{2a} \] eingeführt, welche die von den Ungleichheiten befreite Function \(f(\zeta)\) darstellt. Es wird gefunden \[ \psi (\zeta) ={\frac{akV}{2\omega}}\left(1-\cos{\frac{\zeta} {a\sqrt{k'}}}\right), \] \[ \psi'(\zeta) = \frac{kV}{2\omega\sqrt{k'}}\;\sin\frac {\zeta}{a\sqrt{k'}}\cdot \] Hieraus erhält man den sehr angenäherten Wert \[ a\frac V\omega\;\frac{k}{k'}\;\sin\frac{\omega t}{a\sqrt{k'}}, \] welchen de St.-Venant für die Verrückungen \(u\) des gestossenen Punktes gegeben hat. Die grösste Deformation \(-\delta\) wird bis auf einen kleinen Fehler bestimmt, nämlich gefunden \[ -\delta = {\frac V \omega}(\sqrt{k}+1). \] Dieser Ausdruck ist praktisch anwendbar, sobald \(k\) den Wert 5 erreicht; ist \(k\) dagegen kleiner als 5, so muss die genaue Formel genommen werden \[ -\delta = 2\,{\frac V \omega}\,(1+e^{-\frac 2 k}). \]