Ueber Interferenzerscheinungen an dünnen, insbesondere keilförmigen Blättchen. (Q1547142)

Durch eine Polemik des Herrn Feussner (ef. F. d. M. XIII. 1881. 762, JFM 13.0762.01) sind die Verfasser veranlasst, ihre Untersuchungen über Newton'sche Ringe und ähnliche Interferenzerscheinungen (cf. F. d. M. XIlI. 1881.758-761, JFM 13.0758.01) wieder aufzunehmen. Auch die neue Arbeit zerfällt in einen theoretischen Teil, der von Wangerin verfasst ist, und in einen experimentellen, der von Sohncke herrührt. Dem Zwecke des Jahrbuchs entsprechend berichten wir nur über den ersten Teil. Im ersten Abschnitt wird eine allgemeine Theorie der Interferenzerscheinungen dünner Blättchen auf neuer Grundlage aufgestellt. Diese neue Theorie unterscheidet sich von der bisherigen dadurch, dass nicht nur ein Paar von interferirenden Strahlen betrachtet wird, sondern dass alle wirksamen Strahlen ins Auge gefasst werden. Derselbe Gedanke liegt zwar auch der Feussner'schen Arbeit (cf. das obige Citat) zu Grunde, aber dessen Theorie, die übrigens nur für den einfachen Fall eines keilförmigen Blättchens durchgeführt ist, in allen andern Fällen aber kaum durchführbar erscheint, enthält eine unnötige Complication dadurch, dass der Gang der interferirenden Strahlen durch die Beobachtungslinse verfolgt wird. Dem gegenüber wird hier gezeigt, dass es nur nötig ist, die Interferenz in demjenigen Punkte des Raumes zu betrachten, der vom Auge direct oder mittelst eines Beobachtungsinstrumentes anvisirt wird. Ferner wird die resultirende Intensität hier durch Betrachtungen bestimmt, die von denen Feussner's gänzlich verschieden und jedenfalls strenger sind. Der Gedankengang der Entwickelung ist folgender: Um den anvisirten Punkt \(P\) denke man eine Kugel mit dem Radius 1 beschrieben. Aus dieser schneidet der Kegel, welcher \(P\) mit der Oeffnung des Beobachtungsinstruments verbindet eine Kalotte aus, deren Mittelpunkt \(O\) sei. Ein beliebiger Punkt \(Q\) der Kalotte, und damit ein beliebiger der in das Instrument gelangenden Strahlen \(PQ\), wird sodann durch sphärische Coordinaten \(\varphi, \psi\) bestimmt, deren Pol \(O\) ist; und nun ist es leicht, die Richtungscosinus von \(PQ\) auszudrücken durch \(\varphi, \psi\), und die Richtungscosinus der Axe \(PO\). Weiter ist zu beachten, dass von \(P\) zwei Bündel von Strahlen ausgehen derart, dass die Strahlen des einen an der Oberfläche des Blättchens reflectirt sind, die des andern aus dem Innern kommen. Fasst man den Strahl \(PQ\) des einen Bündels und den mit ihm interterirenden des andern Bündels zusammen, so ergeben diese beiden, falls sie in \(P\) die Wegdifferenz \(\delta\) besitzen, einen Intensitätsausdruck von der Form \[ (1)\quad M^2 + N^2 - 2MN\cos\left({\frac \delta\lambda}\;2\pi\right). \] Betrachtet man nun um den Punkt \(Q\) der oben erwähnten Kalotte ein Flächenelement derselben, so ist die von diesem Element herrührende Intensität sowohl der Grösse des Elements, als dem vorstehenden Ausdruck (1) proportional. Daher ergiebt sich durch Integration über die ganze Kalotte die Gesamtintensität im Punkte \(P\): \[ (2)\quad I = m\iint\left\{M^2 + N^2 - MN\cos\left ({\frac\delta\lambda}\;2\pi\right)\right\}\sin\varphi\, d\varphi\, d\psi, \] wobei \(m\) ein constanter Factor ist. In (2) sind \(M, N\) und \(\delta\) von \(\varphi\) und \(\psi\) abhängig. Der sphärische Abstand \(\varphi\) des Punktes \(Q\) von \(O\) kann ferner als eine kleine Grösse betrachtet werden, deren Quadrate zu vernachlässigen sind. Dann kommen in \(M\) und \(N\) nur die constanten Terme in Betracht, \(\delta\) wird von der Form \[ (3)\quad \delta = A + B\varphi\cos\psi + C\varphi\sin\psi, \] und \(\sin \varphi\) ist durch \(\varphi\) zu ersetzen. Die Ausführung der Integration ergiebt dann: \[ (4)\quad I = \pi\varphi_1^2 m\left\{M^2 +N^2 - 2MN\cos\left(\frac{2\pi A}{\lambda}\right) \frac{2J_1(u)} {u}\right\}. \] Darin ist \(\varphi_1\) der sphärische Radius der Kalotte, \[ u = \varphi_1\frac{2\pi}{\lambda}\;\sqrt{B^2+C^2}, \] während \(J_1\) die Bessel'sche Function mit der Ordnungszahl 1 ist. Aus (4) ergiebt sich, dass für die Maxima der Intensität \( A = (2h+1){\frac\lambda 2},\) für die Minima \(A = h .\lambda\) für beide zugleich \(\frac{2 J_1(u)}{u}\) ein Maximum sein muss. Die letztere Bedingung, von deren Erfüllung die Deutlichkeit der Interferenzerscheinung abhängt, kann mit grosser Näherung durch die andre ersetzt werden, dass \(B^2 + C^2\) ein Minimum ist. Dies die Grundzüge der allgemeinen Theorie, die auf die Newton'schen Ringe sowie auf die Interferenzstreifen eines keilförmigen Blättchens angewandt wird. Die Ausführung der nötigen Entwickelungen ergiebt hier genau dieselben Resultate, die vom Verfasser in seiner früheren Arbeit (cf. das obige Citat) gefunden waren. Hiernach haben also jene Resultate eine neue, von jeder hypothetischen Annahme freie Begründung erfahren; zugleich ist aber das der früheren Arbeit zu Grunde liegende Erklärungsprincip als eine berechtigte Hülfsvorstellung erwiesen. Die eben entwickelte Theorie ist direct nur auf solche Punkte \(P\) anwendbar, die in der Mitte des Gesichtsfeldes liegen; bei der Prüfung der Resultate durch Beobachtungen ist also stets das Instrument successive auf die verschiedenen Punkte eines dunklen Streifens einzustellen und jedesmal die Lage des in der Mitte des Gesichtsfeldes liegenden Punktes zu bestimmen. Dagegen sind die Formeln zu modificiren, wenn man gleichzeitig ein grösseres Gesichtsfeld betrachtet. Die Differenz, welche in Bezug auf die Richtung der Interferenzstreifen eines keilförmigen Blättchens zwischen dem Verfasser und Herrn Feussner früher bestanden, erklärt sich daraus, dass beide Arten der Betrachtung nicht gehörig aus einander gehalten waren. Will man die obige Theorie auf Punkte \(P_1\), anwenden, die nicht wie der vorher betrachtete Punkt \(P\) in der Mitte des Gesichtsfeldes liegen, so hat man die Richtungscosinus von \(PO\) durch die von \(P_1O\) zu ersetzen. Führt man dies bei dem keilförmigen Blättchen aus, so ergiebt sich genau die von Feussner für die Drehung der Streifen aufgestellte Formel. Diese Drehung ist somit nicht durch eine Beobachtungslinse oder durch die Grösse und Lage des mit der Linse verbundenen Diaphragmas veranlasst; ihr Grund liegt vielmehr allein in dem Richtungsunterschied der von benachbarten Punkten des Gesichtsfeldes gleichzeitig in die Mitte des Auges gelangenden Strahlen. Vor allem hat die Drehung der Streifen mit der Frage nach dem Orte der grössten Deutlichkeit der Interferenzerscheinung nichts zu thun, sondern kann ebenso gut aus der alten Theorie abgeleitet werden. Nachdem, so die wahre Bedeutung der Feussner'schen Formel ermittelt wird dieselbe vom Verfasser durch eine allgemeinere ersetzt, welche die Drehung der Streifen auch für den Fall ergiebt, wo die Erscheinung nicht durch eine sehr breite, sondern durch eine begrenzte Lichtquelle hervorgebracht ist. Zum Ziele führt hier die Betrachtung der Richtung der Strahlen, welche die Interferenz in den äussersten sichtbaren Punkten eines Streifens veranlassen. Auf die Einzelheiten dieser Untersuchung einzugehen, würde hier zu weit führen. Der dritte Abschnitt des theoretischen Teils der Arbeit beschäftigt sich mit der Interferenzfläche für ein keilförmiges Blättchen, d. h. mit den Orten, auf die man das Beobachtungsinstrument einstellen muss, um die verschiedenen Streifen möglichst deutlich zu sehen. Eine besondere Versuchsanordnung, bei der sowohl die Lichtquelle, als auch das reflectirende Stück der Oberfläche des Blättchens kreisförmig begrenzt war, brachte eine andere Begrenzung der wirksamen Strahlen, als im ersten Abschnitt angenommen war, mit sich. Damit wurde auch die Fläche über welche die oben erwähnte Integration auszudehnen war, ein andere. Hierdurch treten zu den früher abgeleiteten Formeln Correctionsglieder hinzu, die durch längere Rechnungen ermittelt werden. Aus denselben folgt, dass wegen der erwähnten neuen Begrenzungen die Interferenzfläche eine wesentlich andere Neigung gegen die obere Keilfläche erhält, dass aber die Entfernung des mittleren Streifens von der Keilfläche durch jene Begrenzung nicht modificirt wird. Die theoretischen Resultate stimmen mit den Beobachtungen des Herrn Sohncke, die im zweiten Teile dargelegt werden, gut überein.