Die quadratischen Irrationalitäten der Alten und deren Entwickelungsmethoden. (Q1547375)

Der Verfasser hat die Untersuchungen wieder aufgenommen, über die bereits im Bande XI. 1879, dieses Jahrbuches p. 37-38 (JFM 11.0037.02) berichtet worden ist. Er beschränkt sich in dieser Arbeit auf quadratische Irrationalitäten, zieht dafür aber auch alle anderen Methoden als Kettenbruchentwickelungen, in den Kreis seiner Untersuchung. Gemäss dem Ziele der Untersuchung zerfällt die Abhandlung in drei Capitel, in deren erstem das Material aus dem Altertum gesammelt wird. Das zweite Capitel (p. 51-100) ist der Ableitung der antiken Quadratwurzeln durch offene oder versteckte Kettenbruch-Algorithmen gewidmet und das 3\(^{\text{te}}\) (101-129) der Ableitung derselben durch Entwickelung in Bruchreihen. Auf die Untersuchung selbst näher einzugehen, erlaubt der hier gestattete Raum nicht. Referent muss sich daher begnügen, die wesentlichsten Ergebnisse anzuführen. Die Alten gingen bei der Berechnung irrationaler Quadratwurzeln durchgängig von der Relation \( \sqrt{a^{2}\pm b}=a\pm\frac{b}{2a} \) aus und brachten dann in fast empirischer Weise Verbesserungen an. Von der so gewonnenen ersten Annäherung aus gewann man methodisch durch Betrachtungen ähnlich denen, die bei der Auflösung der Pell'schen Gleichung gebraucht werden, weitere Näherungswerte. Ein Kettenbruchverfahren, welches mit dem jetzigen Aehnlichkeit hätte, existirte ebenso wenig, wie die Auflösung in eine Bruchreihe. Nur bei den Indern, Arabern und Juden des frühen Mittelalters finden sich die Näherungswerte der Entwickelung \[ \sqrt{a^{2}\pm b}=a\pm b:2a\pm b:2a ...\; . \]