On equal roots of equations. (Q1547441)

Es sei \[ f(x)=a_0x^n + na_1x^{n-1}+ \frac{n(n-1)}{1.2} a_2x^{n-2} + \cdots +na_{n-1} x+a_n, \] \[ \psi(r,v,m)=\frac{r(r-v-1)!}{r!} a_ma_{r+m} -v\frac{ (r-2)(r-v-2)!}{(r-1)!} a_{m+1}a_{r+m+1} \] \[ +\frac{v(v-1)}{2!} \frac{(r-4)(r-v-3)!}{(r-2)!} a_{m+2}a_{r+m+2} + \cdots \] Wenn dann \(f(z) = 0\) eine \((n-v)\)-fache Wurzel besitzt, wobei \( v\leq \frac 12 (n-1)\) ist, dann hat dieselbe den Wert \[ -\psi(r,v,m):\psi(r-1,v,m), \] wo für \(m\) gesetzt werden kann \(0, 1, 2,\ldots, n-2v-1\) und für \(r\) einer der Zahlenwerte \(2v + 1, 2v+2,\ldots n-m\). Hat ferner \(f(x) = 0\) eine \((n-v)\)-fache Wurzel, wobei \(v\leq \frac 12 n-1 \) ist, dann ist \(\psi(r,v+1,m)=0\) für \(m=0, 1, 2,\ldots n-2v-2\), und für \(r = 2v+2, 2v+3,\ldots,n-m\). Aus den verschiedenen Wertformen der gleichen Wurzeln folgen Bedingungen unter den Coefficienten \(a\). Für \(\psi(r,v+t,m)\) werden Recursionsformeln abgeleitet, in welche die Functionen \[ \psi(r-2\alpha,v,m+\alpha) \] eingehen. Herr Cayley giebt in einer Anmerkung zum ersten Aufsatze einige der Resultate desselben in entwickelter Form.