Sur la distribution, dans le plan, des racines d'une équation algébrique dont le premier membre satisfait à une équation différentielle linéaire du second ordre. (Q1547448)

Es bedeute \(f(x)=0\) eine Gleichung \(n^{\mathrm ten}\) Grades; ferner sei \[ X=x-\frac{2(n-1)f'(x)}{f''(x)}, \] und \(x_1\) in \(X\). Werden \(x_1,X\) durch zwei Punkte einer Ebene repräsentirt, und zieht man durch \(x_1\) einen Kreis, der alle Wurzeln von \(f=0\) aus- oder einschliesst, dann liegt \(X_1\) in demselben Ebenenteile, in dem sich die Wurzeln befinden. Ist \(O\) der Punkt \((0,0),A\) der Punkt \((-2n,0)\), dann umschliesst jeder Kreis, der durch \(A,O\) geht, mindenstens eine Wurzel von \(f=0\). Im Zusammenhange mit dieser Kreisschar steht eine Parabel \(P\), welche alle Wurzelpunkte einschliesst, und die den Punkt \(O\) zum Brennpunkt hat. Eine unendliche Anzahl anderer Curven kann gefunden werden, welche zu einer Grenzcurve \(\pi\) führen. Diese ist transcendent; sie geht durch \(A\); die Tangente in einem beliebigen Punkte \(N\) steht senkrecht auf dem durch \(O\) bestimmten Durchmesser des Kreises \(O\;A\;N\); sie umschliesst alle Wurzelpunkte. Es folgt eine Anwendung auf die hypergeometrische Reihe.