Sur les fonctions du genre zero et du genre un. (Q1547464)

(Siehe auch JFM 14.0057.03 und JFM 14.0057.04) Es handelt sich um die Beantwortung der Frage: Welche elementaren Eigenschaften der algebraischen Gleichungen gelten auch für transcendente Gleichungen? Für die Untersuchung hierüber ist die Einführung der Weierstrass'schen Primfunctionen von Wichtigkeit. Bezeichnet man durch \(\varphi(x)\) ein Polynomen vom Grade \(n\), so nennt Herr Laguerre die Function \[ F(x)=\lim e^{\varphi(x)+\sum\left( \frac x\alpha + \frac{x^2}{2\alpha^2} + \cdots +\frac{x^n}{n\alpha^n} \right) } \cdot \prod \left( 1-\frac x\alpha \right) \] eine Transcendente ``vom Geschlechte \(n\)''; er zeigt: wenn der Quotient \(f'(x): (f(x)X^n)\) für ein ganzzahliges \(n\) sich bei wachsendem \(x\) der Grenze Null nähert, dann ist \(f(x)\) vom Geschlechte \(n\). Wenn in \[ \varPhi(x) = A_0+A_1x+\cdots +A_nx^n \] die \(A\) Functionen von \(n\) sind, wenn \(F(x) = \lim_{n=\infty} \varPhi(x)\) eine unbedingt convergente Reihe wird, wenn \(\varPhi(x)=0\) für jeden Wert von \(n\) nur reelle Wurzeln besitzt, die sämmtlich, von gleichem Zeichen sind, dann ist \(F(x)\) gleich dem Producte einer ganzen Function des Geschlechts Null, multiplicirt mit einer Grösse \(e^{c_1x+c_2}\). Ist \(F(x)\) vom Geschlechte 1, und besitzt \(F(x) = 0\) nur reelle Wurzeln, dann sind alle Ableitungen \(F'(x),F''(x),\ldots\) gleichfalls Transcendenten vom Geschlechte 1, und \(F'(x) = 0, F''(x) = 0,\ldots\) haben nur reelle Wurzeln. Setzt man 1: \(F(x) = f(x)\), dann haben alle Functionen \(f(x),f''(x),f^{IV}(x),\ldots\) für jeden reellen Wert von \(x\) dasselbe Vorzeichen. Lässt man für \(F(x)=0\) die Voraussetzung der Realität der Wurzeln fallen, dann gilt der Satz: ``Zwei auf einander folgende reelle Wurzeln von \(F(x) = 0\) umschliessen eine und nur eine solche von \(F'(x)=0\); substituirt man in \(F(x)\) zwei auf einander folgende Wurzeln von \(F'(x)=0\), und haben die Resultate gleiche Vorzeichen, so besitzt \(F(x)=0\) imaginäre Wurzeln.''