On subinvariants i. e. semi-invariants to binary quantics of an unlimited order. (Q1547473)

Da der grösste Teil dieser grossen Abhandlung im Am. J. seinem Erscheinen nach in das Jahr 1883 fällt, so soll hier vorläufig nur die principielle neue Behandlung, die Herr Sylvester darin der Theorie der Invarianten-Grundformen zu Teil werden lässt, dargelegt werden. Diese Behandlung basirt auf der Erscheinung, dass der Leitcoefficient irgend einer Covariante einer binären Form nicht nur dies eine Mal, sondern auch in einer Covarianten von jeder binären Form höherer Ordnung (als Leitcoefficient) auftritt. Jeder Leitcoefficient begründet daher eine bestimmte unendliche Formengruppe. Als Subinvariante in Bezug (quâ) auf die Elemente \(a,b,c,\ldots\) wird definirt irgend eine ganze rationale Function derselben, die der Differentialgleichung der Leitcoefficienten \[ \varOmega\equiv a\delta_b+ 2b\delta_c + 3c\delta_d + \cdots \text{ ad libitum } =0 \] genügt. Ersetzt man hier \(\varOmega\) durch eine beliebige lineare Function der \(a\delta_b,b\delta_c,\ldots\), so kommt man zu Subinvarianten in Bezug auf die entsprechenden numerischen Vielfachen der \(a, b, c\ldots\) als Elemente. Daraus folgt, dass, wenn man in einer solchen Subinvariante das erste Element \(a\) gleich Null setzt, der Rest jetzt eine Subinvariante in Bezug auf die neue Elementenreihe \(b,\frac c2, \frac d3,\ldots \) wird; ein Satz, der die Ableitung der Grundformen sehr erleichtert. Der Hauptsatz des ersten Abschnittes sagt aus, dass irgend eine Invariante eines Systems von Subinvarianten selbst wieder eine Subinvariante ist, und zwar in Bezug auf den höchsten Buchstaben (der in jenem vorkommt) und die Einheit; ein Satz, der auf Subinvarianten ``von Systemen von Elementen'' ausgedehnt werden kann. Uebrigens lassen sich umgekehrt diese ``Plurisubinvarianten'' wieder als Specialfall der ``Unisubinvarianten'' auffassen, indem in diesen nur gewisse der numerischen Coefficienten gleich Null gesetzt zu werden brauchen. Eine besonders hervorragende Rolle unter den Coefficienten in einer Subinvariante spielt der zur höchsten Potenz des höchsten (entferntesten) Buchstabens gehörige, da er gleichfalls eine Subinvariante ist, und zwar bezüglich der unendlichen Elemente, wie die erste. Er heisst der Keim (germ) der zugehörigen Covariantenform. Solche Keimtafeln werden für die Grundformen der binären Formen fünfter und sechster Ordnung aufgestellt, sie gewähren einen guten Einblick in den Aufbau des vollen Formensystems. Der wirklichen, algebraischen Herleitung der Grundformen, (d. h. hier ihrer Grundsemiinvarianten) liegt die Aufstellung der ``Urtypen'' (proto-morphs) zu Grunde, d. i. derjenigen Formen, die abwechselnd vom zweiten und dritten Grade in den Coefficienten sind. Ihre Wichtigkeit geht daraus hervor, dass jede andere, zur selben binären Form gehörige Gründsemiinvariante (mit einer geeigneten Potenz des ersten Coefficienten multiplicirt) eine ganze rationale Function der Urtypen ist. Als Hauptbeispiel dienen die binären Formen fünfter Ordnung; dabei tritt die Nützlichkeit des oben erwähnten Restgatzes sehr hervor. Die Grundformen zerfallen dabei ganz von selbst in gewisse Categorien, die auf die Natur jener ein neues Licht werfen. Beiläufig wird ein Satz aufgestellt, der aber eine grosse Zukunft zu haben scheint: ``Eine Folge von (wachsenden) ganzen Zahlen mit der Beschränkung, dass keine von ihnen ein Vielfaches einer der andern und auch nicht die Summe der Vielfachen von irgend zwei der andern ist, kann nicht bis in's Unendliche fortgesetzt werden.''