Ueber Gleichungen siebenten Grades mit einer Gruppe von 168 Substitutionen. (Q1547481)

Dies sind die letzter Vorarbeiten (siehe auch JFM 14.0080.01 und JFM 14.0080.02) zu einer expliciten Lösung der Gleichungen \(7^{\mathrm ten}\) Grades mit einer Gruppe von 168 Substitutionen (cr. F. d. M. XII. 1880. p. 96, JFM 12.0096.02), wobei aber zu bemerken ist, dass auch der Nutzen, den die Theorie der ternären, quadratischen und biquadratischen Formen aus diesen Untersuchungen zieht, ein ganz erheblicher ist. Dies zeigt sich gleich in der ersten der beiden Arbeiten, in der das volle (simultane) System zweier ternärer quadratischer Formen (das Herr Gordan bereits in dem Buche von Clebsch und Lindemann mitteilen liess) aufgestellt und verschiedene wichtige Relationen zwischen diesen entwickelt werden. Das volle System \(S\) der beiden Formen (Kegelschnitte) \( \varrho=u_\varrho^2\) und \(s=s_x^2\) besteht, diese incl., aus 20 Formen, die bis zum Grade 3 in den \(u\) resp. \(x\) ansteigen. Unter ihnen zeichnen sich aus, einmal vier Invarianten: (1), (2), (3), (4), sodann je drei Kegelschnitte in Punkt-, resp. Liniencoordinaten: \(r, s, t\), resp. \(\varrho,\sigma,\tau\), sowie die zwei Functionaldeterminanten derselben. Zunächst werden die wichtigsten weiteren Formen als ganze Functionen der Systemformen ausgedrückt, unter denen eine gewisse dreireihige Determinante \(H\) (vom \(6^{\mathrm ten}\) Grade in den \(x\)), sowie die Tactinvariante der gegebenen Formen hervorragen. Die erstere Covariante hat die Bedeutung, dass sich die Quadrate und Produkte der \(r, s, t\) aus den Unterdeterminanten von \(H\) linear zusammensetzen. Im zweiten Abschnitte werden die Ecken, resp. Seiten des gemeinsamen Polardreiecks der gegebenen Kegelschnitte eingeführt, mittels deren die Hauptformen des Systems \(S\) in ``irrational - typischer'' Weise ausgedrückt werden. Dies dient dann wie(ler dazu, die Quadrate der beiden Functionaldeterminanten \((r, s, t)\) und \((\varrho,\sigma,\tau)\) durch die graden Formen des Systems auszudrücken. Der dritte Abschnitt ist der rationalen Typik gewidmet, zunächst der der beiden gegebenen Kegelschnitte, mit Hülfe einer zu adjungirenden, vorläufig beliebigen Geraden \(\omega_x\), deren Pole bez. \(\varrho,\sigma,\tau\) zu Ecken des Coordinatendreiecks genommen werden. Sodann gelingt es, sowohl einen beliebigen weiteren Kegelschnitt \(a_x^2\), als eine beliebige Curve vierter Ordnung \(a_x^4\) in rational typischer Weise auf das neue Coordinatensystem zu beziehen. In ihren Darstellungen treten 13, resp. 22 von einander unabhängige Invarianten auf, wie es der Natur der Sache gemäss ist. Zur Geraden \(\omega_x\) wird weiterhin insbesondere irgend eine passende lineare Covariante von \(\varrho,\sigma\) und einem dritten Kegelschnitt \(p_x^2\) genommen. Die typischen Coefficienten von \(r,s,p\) drücken sich durch elf Invarianten (von \(r, s, p\)) aus, zwischen denen aber eine Relation besteht, desgleichen die typischen Coefficienten von \(r,s,p,q\), wo letztere Form einen neuen, vierten Kegelschnitt bedeutet, durch 20 Invarianten mit vier Relationen. Dies findet nun seine Anwendung auf die typische Darstellung einer Curve vierter Ordnung \(a_x^4\) und eines einzelnen Kegelschnitts \(\varrho\) in folgender Weise. Man bilde die Formen \(s, p, q, \omega\) so, dass \[ s_x^2=a_x^2a_\varrho^2, \;\; p_x^2=a_x^2a_\tau^2, \;\; q_x^2=a_x^2a_\sigma^2, \quad \omega_x=p_\sigma p_\tau (\varrho\tau x). \] Dann erfordert die typische Darstellung von \(a_x^4\) und \(\varrho_x^2\) 17 simultane Invarianten beider, von denen aber nur 13 unabhängig sind. Ist dagegen \(a_x^4\) nicht allgemein, sondern unter der im Titel angegebenen numerischen Form gegeben, so ist von vornherein klar, dass die Zahl der unabhängigen Invarianten sechs, d. h. gleich der Zahl der Coefficienten des Kegelschnitts sein muss. Die Rechnung führt zunächst auf zwölf Fundamentalinvarianten, die sich infolge eines eigentümlichen, zwischen der Form \(f\) und ihrer Covariante \((abu)^4\) stattfindenden Reciprocitätsverhaltnisses paarweise gruppiren lassen. Dadurch nun, dass es gelingt, gewisse höhere Invarianten durch jene zwölf auszudrücken, wird man von selbst auf die sechs Relationen geführt, die zwischen den zwölf bestehen. Diese Relationen zeigen eine verhältnismässig grosse Einfachheit, denn fünf von den zwölf Invärianten drücken sich rational durch die übrigen aus, und zwischen den letzteren sieben besteht eine algebraische Gleichung, welche in zweien derselben vom sechsten Grade ist. Umgekehrt denke man sich jetzt diese sechs letzteren Fundamentalinvarianten mit der zwischen ihnen stattfindenden Gleichung numerisch gegeben, ebenso wie das canonische \(f\). Berechnet die Coefficienten des Kegelschnitts \(\varrho\) werden. Diese abschliessende Aufgabe ist nun ohne Weiteres auf die bereits früher gelöste (cf. F. d. M. XII. 1880. p. 96, JFM 12.0096.02) zurückführbar: ``Eine biquadratische ternäre Form \(F\) von der bekannt ist, dass sie sich durch eine lineare Substitution von der Determinante Eins in \(f = x_1^3x_2+x_2^3x_3 + x_3^3x_1 \) verwandeln lässt, (die also 168 lineare Substitutionen von der Determinante Eins in sich übergeht) die aber in irgend einer anderen Form (hier der typischen) gegeben ist, tatsächlich durch eine solche Substitution f überzuführen.'' Diese Substitution führt aber zugleich das typische \(\varrho\) in das gesuchte (canonische) über, womit die Aufgabe gelöst ist. Den 168 gleichberechtigten Substitutionen stellen sich genau 168 gleichberechtigte Kegelschnitte zur Seite. Diese 168 Substitutionen stehen in engstem Zusammenhange mit den 168 Substitutionen, die den Anfangs erwähnten Gleichungen \(7^{\mathrm ten}\) Grades zukommen, und in der Tat ist mit der Lösung der eben angeführten Aufgabe auch die Auflösung solcher Gleichungen implicite mitgegeben. Doch haben wir über die bezügliche Arbeit von Herrn Gordan, die den Schlusstein seines Gebäudes bildet, erst im nächsten Jahrgang dieser Fortschritte zu sprechen.