Gruppentheoretische Studien. Habilitationsschrift. (Q1547490)

Eine Substitution \(A_i\) wird als irgend welche Operation definirt, die auf das mit 1 bezeichnete Object angewendet werden soll. Sind \(m\) solcher Operationen \(A_1, A_2,\ldots,A_m\) gegeben, so entsteht durch Iteration und Combination derselben eine Gruppe. Besitzen die \(A\) keine Perioden und bestehen zwischen ihnen keine Relationen, so erhalten wir die allgemeinste Gruppe \(G\) von \(m\) Substitutionen; ihre Ordnung ist unendlich gross. Durch Einführung von \(A_n\) mittels der Gleichung \(A_1A_2\ldots A_mA_n=1\) kann man die negativen Exponenten bei den \(A\) vermeiden. Ein Polygonnetz kann die Gruppe geometrisch darstellen; der Uebergang von einem Polygon zu einem anderen repräsentirt eine Substitution, welche im Sinne der Analysis situs das Netz in sich selbst überführt. Durch irgend welche Relationen, die stets in die Form \(F'(A_1,\ldots,A_m)=1\) gebracht werden können, hebt sich aus der allgemeinen eine besondere Gruppe \(G'\) heraus; \(G\) und \(G'\) lassen sich isomorph auf einander beziehen. Der Herr Verfasser legt principiellen Wert darauf, die Gruppen \(G'\) durch blosse Kenntnis einer Anzahl von Beziehungen zwischen den erzeugenden Substitutionen zu definiren. Geometrisch betrachtet spaltet die isomorphe Zuordnung von \(G\) und \(G'\) das unendliche Netz in eine Reihe von äquivalenten Gebieten, deren jedes der Gruppe \(G'\) entspricht; die Ränder eines solchen Gebietes sind einander paarweise zugeordnet; heftet man sie in der dadurch bestimmten Verbindung an einander, so erhält man ein geschlossenes Netz als Bild von \(G'\). Bei endlichen Gruppen müssen für die \(A\) Perioden bestehen; man hat also die Relationen \[ \text{(I)} \quad A_i^{\nu_i}=1,\quad \prod_i A_i=1 \quad (i=1,2,\ldots m,n), \] und für jede so definirte Gruppe lässt sich in dem unendlichen Netz ein einfach zusammenhängendes Fundamentalpolygon construiren, dessen Ränder einander paarweise zugeordnet sind. Zu den Beziehungen (I) können noch Relationen \[ \text{(II)} \quad P_h(A_1,A_2,\ldots)=1 \] hinzutreten. Die hiernach geschlossene Fläche giebt durch ihren Zusammenhang der Gruppe ein bestimmtes Geschlecht \(p\). Für \(p=0\) ergeben sich fünf Gruppen, deren eine, die Ikosaedergruppe, wie übrigens Hamilton schon angiebt, durch \[ A_1^5=1,\quad A_2^3=1,\quad A_3^2=1,\quad A_1A_2A_3=1 \] bestimmt ist. Dies ergiebt beispielsweise: Setzt man irgend welche krummlinigen Dreiecke \(a_1,a_2,a_3\) derart aneinander, dass in den Ecken \(a_1\) je zehn abwechselnd schraffirte und weisse Dreiecke zusammenstossen, in den Ecken \(a_3\) je sechs, in den Ecken \(a_3\) je vier, so enthält das entstehende Netz unter allen Umständen nur 60 Dreiecke jeder Art, welche die ganze Ebene ausfüllen. Es werden einige Bemerkungen über Fälle von \(p = 1\) und über die Gruppe der Modulargleichung für Primzahltransformationen gemacht.