Équation en \(s\) de degré \(m\) et décomposition d'une forme quadratique en carrés. (Q1547511)

Vermindert man in der symmetrischen Determinante \(D_1\) mit reellen Elementen diejenigen der Hauptdiagonale um \(s\), so entstehe die Determinante \(D\) vom Grade \(m\). Wenn \(D_1\) die Discriminante einer quadratischen Form \(f(x,y,\ldots z)\) ist, wird \(D\) die von \(f(x,y,\ldots z)-s(x^2+y^2+\cdots +z^2)\). Hierauf gründen sich einfache Beweise über die Realität und die Multipileität der Wurzeln \(s\) von \(D = 0\) und über ihre Beziehung zu der Zerlegung von \(f-s(x^2+y^2+\cdots z^2)\) in eine Summe von Quadraten. Wir erwähnen beispielshalber den folgenden Satz: Bei der Zerlegung von \[ f(x,y,\ldots z)-\sigma\cdot( x^2+y^2+\cdots +z^2) \] in Quadrate, giebt es so viele positive Vorzeichen, als \(D = 0\) Wurzeln hat, welche grösser sind als \(\sigma\). Aus der Gleichung in \(s\) wird die lineare orthogonale Substitution abgeleitet, welche die quadratische Form in eine Quadratsumme umwandelt.