On the extension of the arithmetic notion of a genus (Q1547579)

Die Gauss'sche Einteilung der binären quadratischen Formen nach Ordnungen und Geschlechtern, die dann von Einstein auf die quadratischen ternären Formen übertragen wurde, wird hier auf beliebig hohe Formen mit beliebig vielen Variabeln ausgedehnt mittels der beiden Definitionen: ``Zwei algebraisch äquivalente Formen gehören derselben Ordnung an, wenn für beide der grösste gemeinsame Teiler ihrer Coefficienten der gleiche ist, und das Nämliche auch statt hat für die Coefficienten ihrer sämmtlichen invariantiven Bildungen, gleichgültig ob alle diese Formen mit oder ohne Polynomialcoefficienten geschriebenen werden.'' ``Zwei solche Formen gehören demselben Geschlecht an, wenn sie ``nach irgend einem Modul äquivalent'' sind, d. h. wenn es eine ganzzahlige lineare Substitution der Variabeln giebt, deren Determinante in Bezug auf jeden Modul congruent Eins ist, und welche beide Formen, abgesehen von jenem Modul in einander überführt''. Als erstes Ordnungs-Beispiel dienen die quadratischen Formen mit \(n\) Variabeln. Es werden drei ``Ordnungscharactere'' aufgestellt, die sich alle auf die Determinante \(\varDelta\) der Form stützen, von denen z. B. der erste aus den grössten gemeinsamen Teilern aller Unterdeterminanten (von \(\varDelta\)) derselben Ordnung besteht. Damit dann zwei gegebene Formen von derselben Ordnung seien, ist es notwendig und hinreichend, dass zwei der Charactere für beide Formen dieselben sind. Zweitens werden die cubischen binären Formen in Ordnungen eingeteilt. Hier giebt es einen einzigen Ordnungscharacter, bestehend aus dem grössten gemeinsammen Teiler der Coefficienten der Form, sowie ihrer Hesse'schen, einmal mit, einmal ohne Binomial-Coefficienten geschrieben, also im Ganzen aus vier Zahlen. Als erstes Beispiel für die Geschlechtsdefinition werden wiederum die quadratischen Formen mit \(n\) Variabeln untersucht. Weiss man von zwei solchen Formen nur, dass sie derselben Ordnung angehören und die gleiche Determinante \(\varDelta\) besitzen, so müssen sie, um auch demselben Geschlecht anzugehören, nach irgend einer Potenz der ungraden Primfactoren von \(\varDelta\), sowie nach irgend einer Potenz der Zahl Zwei äquivalent sein. Für das Erstere werden die Bedingungen allgemein angegeben, für das Letztere beschränkt sich der Verfasser auf ein Beispiel. Als letztes Beispiel dienen wieder die cubischen binären Formen, von denen vorläufig mitgeteilt wird, wie sie sich in Geschlechter bezüglich der Moduln 2,3 und 5 verteilen. Die Wichtigkeit dieser Ausdechnungen braucht wohl kaum bemerkt zu werden.