The Fourier series (Q1547644)

Die Abhandlung untersucht das Verhalten der Fourier'schen Reihe im Anschluss an eine frühere Arbeit des Herrn Verfassers (vgl. d. Jahrb. XIII. 1881. 327, JFM 13.0326.01). Von den einleitenden Sätzen über Potenzreihen ist hier zu erwähnen der Satz V., der übereinstimmt mit dem ersten Satze des Herrn Hölder, welchen wir oben p. 180 (JFM 14.0180.01) angeführt haben. Die Fourier'sche Reihe wird gebildet mit einer Function \(f(\gamma )\), welche für die Werte \(0 \leq \gamma \leq 2\pi\), die auf einer Kreislinie vom Radius 1 construirt werden, in folgender Art definirt ist. Innerhalb eines jeden Bogens, sei er auch noch so klein, ist ein Bogen vorhanden, für dessen Punkte (die Grenzen ausgeschlossen) \(f(\gamma )\) eindeutig definirt und stetig ist. Dabei liegen sämmtliche Werte \(f(\gamma )\) zwischen denselben endlichen Zahlen. Zufolge dieser Annahme haben wir in jedem nicht im Innern eines Stetigkeitsbogens liegenden Punke \((p)\) endliche Unbestimmtheits-Grenzen für \(f(\gamma )\), sowohl von rechts als auch von links her; die beiden ersteren, sowie die beiden letzteren können auch zusammenfallen. Als \(f(p)\) kann jeder Wert gelten, der zwischen den am weitesten von einander abstehenden unter diesen vier Zahlen liegt. Die Stetigkeitsbögen können nach ihrer Grösse geordnet werden, wobei zu beachten ist, dass ihre Summe auch kleiner als \(2\pi\) sein kann. (Vergl. eine ähnliche Bemerkung bei Herrn Harnack, Klein Ann. XIX. p. 238, siehe F. d. M. XIII. 1881. p. 182, JFM 13.0182.02). Die auf die angegebene Art definirten Functionen zerfallen in zwei Klassen, die im Intervalle \((0,2\pi )\) integrirbaren nicht integrirbaren. Die ersten sind dadurch charakterisirt, dass die Summe derjenigen Zwischenbögen \(n^{\text{ter}}\) Ordnung (d. i. derjenigen Bögen, welche von der ganzen Kreislinie nach Ausscheidung der Stetigkeitsbögen \(1^{\text{ter}}\) bis \(n^{\text{ter}}\) Grösse übrig bleiben), in deren jedem die Differenz des grössten und kleinsten Functionswertes (richtiger: der oberen und unteren Grenze von \(f(\gamma )\)) grösser als eine gegebene, sonst beliebige Grösse \(\delta\) ist, mit wachsendem \(n\) zur Grenze Null convergirt. Nicht integrirbar im Intervalle \((0, 2\pi )\) ist \(f(\gamma )\), wenn eine bestimmte Grösse \(\delta\) existirt, so dass die soeben erwähnte Summe bei noch so grossen \(n\) nicht kleiner als eine bestimmte Grösse \(b\) wird. Beide Sätze folgen unmittelbar aus dem Riemann'schen Begriffe der integrirbaren Function. Die allgemeinen Sätze über die Summe der Fourier'schen Reihe scheinen im Wesentlichen nichts Neues darzubieten. (Vgl. z. B. Dini, Serie di Fourier I. p. 100). Beachtenswert ist eine vom Herrn Verfasser aufgestellte specielle Fourier'sche Reihe, die divergent ist in Punkten, welche die ganze Kreislinie in lauter unendlich kleine Teile zerlegen, während sie für andere Punkte, welche ebenfalls überall einander unendlich nahe sind, convergirt, und ihre Summe gleich ist dem Werte der Function, aus welcher sie abgeleitet ist. Am Schlusse der Abhandlung wird noch die Frage erörtert, ob eine Function \(f(\gamma )\) von den bisher vorausgesetzten Eigenschaften auf mehr als eine Weise in eine trigonometrische Reihe entwickelt werden kann.