On the Fourier series (Q1547646)

Herr Harnack hat die im vorigen Bande p. 182 (JFM 13.0182.02) angezeigte Abhandlung nach Massgabe des von ihm selbst darin gefundenen Fehlschlusses neu redigirt (JFM 14.0187.01). Der \(\S\)I, 14 Lehrsätze enthaltend, auf denen einige von den folgenden Sätzen beruhen, ist unverändert geblieben, und bietet somit noch immer Anlass zu Bedenken. Auch der fünfte Satz erscheint dem Referenten jetzt nicht mehr als völlig sicher. Eine trigonometrische Reihe \[ \sum^{\infty}_{k=0}(a_k\sin{}kx+b_k\cos{}kx) \] heisst im Intervalle \((a, b)\) ``im Allgemeinen'' convergent, wenn die Werte \(x\), in denen die Differenz der Unbestimmtheitsgrenzen von \[ s_n(x)\;=\;\sum^n_{k=0}(a_k\sin{}kx+b_k\cos{}kx) \] für \(\lim n\;=\;+\infty\) grösser als eine beliebige positive Zahl \(\delta\) oder unendlich ist, eine discrete Menge bilden. Convergirt eine solche Reihe in einem beliebigen Intervalle im Allgemein, so folgt sofort \(\lim a_n\;=\;\lim b_n\;=\;0\) für \(\lim n\;=\;+\infty\). Sind die Unbestimmtheitsgrenzen von \(s_n(x)\) für \(\lim n\;=\;+\infty\) im Intervalle \((-\pi ,+\pi)\) nur in discreten Punkten, absolut genommen, grösser als eine beliebige Zahl \(\delta >0\), so ist \[ a_n\;=\;b_n\;=\;0 \] Ist nicht allein \(f(x)\) im Intervalle \((-\pi ,+\pi )\) integrabel, sondern auch \([f(x)]^2\), so hat man stets \[ \text{(1)}\quad\lim_{n=+\infty}\int^{+\pi}_{-\pi}f(x)\sin{}nxdx\;=\;\lim_{n=+\infty}\int^{+\pi}_{-\pi}f(x)\cos{}nxdx\;=\;0. \] Es folgt dies einfach aus der Betrachtung des Integrales \[ \text{(2)}\quad\int^{+\pi}_{-\pi}[f(x)-s_n(x)]^2dx, \] unter \(s_n(x)\) die Summe der \((n + 1)\) Anfangsglieder der Fourier'schen Reihe verstanden. Man findet ferner \[ \text{(3)}\quad\lim_{n=+\infty}\int^{x_1}_{x_0}s_n(x)dx\;=\;\int^{x_1}_{x_0}f(x)dx. \] Für das Verhalten der Fourier'schen Reihe für einen bestimmten Wert von \(x\) ist nur das des Integrales \[ \int^{\delta}_0[f(x+\beta )+f(x-\beta )]\frac{\sin{}n\beta}{\beta}d\beta\quad (\delta >0) \] bei \(\lim n\;=\;+\infty\) massgebend. Ist \(f(x+0) + f(x-0)\) eine endliche Zahl \(y\), so convergirt sie demnach zum Werte \(\frac 12y\) nur, wenn \[ \lim_{n=+\infty}\int^{\delta}_0[f(x+\beta )+f(x-\beta )-y]\frac{\sin{}n\beta}{\beta}d\beta\;=\;0, \] woraus die wichtigsten der bisher bekannten Sätze über die Convergenz der Fourier'schen Reihe abgeleitet werden. Wenn \(f(x)\) integrabel ist, \([f(x)]^2\) aber nicht, so bestehen die Sätze (1) und (3) noch fort, falls \(f(x)\) innerhalb der bezüglichen Intervalle absolut integrabel ist. Nun folgt der Nachweis des Satzes von P. du Bois-Reymond (jede trigonometrische Reihe, welche eine integrable Function definirt, ist eine Fourier'sche Reihe), und der Nachweis der von Riemann angegeben Entwickelungen einer gewissen nicht-integrabeln Function in eine trigonometrische Reihe. Am Schlusse findet man Regeln über die Differentiirung und Integrirung von trigonometrischen Reihen. Auf dieselbe Weise wie Herr Harnack beweist Herr Halphén den Satz (1). Er bemerkt (gegen Herrn Hugoniot), dass das Verschwinden des Integrales (2) bei \(\lim n\;=\;+\infty\) allein nicht berechtige, auf die Convergenz der Fourier'schen und ähnlicher Reihen zu schliessen.