Some remarks on the differential quotient of a function of one variable. (Q1547674)

Einige Bemerkungen über die Differentialquotienten einer Function einer Veränderlichen. Besonders wird gezeigt, dass es für die Gültigkeit von \[ \lim \;\frac{f(b)-f(a)}{b-a} =f'(X) \] notwendig ist, dass \(f'(x)\) für \(x=X\) stetig sei, wie an einigen Beispielen gezeigt wird. Weiter wird bewiesen, dass der Ausdruck \[ \sum^{p=n+1}_{p=1}\;\frac{f(x_p)}{r;(x_p)} = \frac{1}{1.2\dots n}\;f^{(n)}(X), \] wobei \(r(x) = (x-x_1)(x-x_2)\dots (x-x_{n+1}),\quad x_1<x_2<\dots<x_n<x_{n+1}\), giltig bleibt, wenn bei der Convergenz \(x_1\) und \(x_{x+1}\) immer \(X\) einschliessen und \(f^{(n-1)}(x)\) für den besonderen Wert \(x = X\) einen endlichen Differentialquotienten \(f^{(n)}(X)= k\) hat.