Note on \(\int_0^{\infty} \frac{\cos{}sx}{(a^2+x^2)^ {\frac12 (2p+1)}} dx\). (Q1547722)

Das Integral ist ein Specialfall dessen, welches Glaischer in seinem Aufsatz ``On Riccati's equation'' Phil. Trans. 1881 (siehe F. d. M. XIII. 1881. p. 273, JFM 13.0273.02.) behandelt hat, nämlich der einzige, auf den dessen Ausdruck nicht anwendbar ist. Er lässt sich zunächst leicht auf den Wert für \(p = 0\) reduciren, was hier in der Form geschieht: \[ v _{p} = s^{- p} \int _{0}^{\infty} \frac {\cos{} s x d x}{(a^{2} + x^{2})^{\frac {1}{2}^{2 p + 1}}} = \frac {\left ( - \frac {2s}{a^{2}} \right )^{p}}{1.3 \ldots (2 p - 1)} \frac {d^{p} v _{0}}{(d . s^{2})^{p}}, \] und genügt der Gleichung \[ \frac { d^{2} v _{p}}{d s^{2}} + \frac {1}{s} \frac{d v _{p}}{d s} - \left ( \frac{p^{2}}{s^{2}} + a^{2} \right ) v _{p} = 0, \] woraus zunächst: \[ \frac { d^{2} v _{0}}{d s^{2}} + \frac {1}{s} \frac{d v _{0}}{d s} - a^{2} v _{0} = 0. \] Die allgemeine Lösung dieser Gleichung ist nach Stokes (Cambr. Phil. Trans. 1880): \[ v _{0} = \left ( E + \frac {1}{2} D \log{} \frac {1}{a^{2} s^{2}} \right ) \sum _{k = 0}^{k = \infty} \frac {(as^{2k})}{2^{2 k} k !^{2}} + D \sum _{k = 0}^{k = \infty} \frac {(as^{2k})}{2^{2 k} k !^{2}} \sum _{h = 1}^{h = k} \frac {1}{h}. \] Für den vorliegenden Fall muss \(v _{0}\) für \(r = \infty\) verschwinden. Unter dieser Bedingung fand Strokes: \[ \frac {E^*)}{D} = k = \log{} 8 + \pi^{- \frac {1}{2}} \varGamma ' \left ( \frac {1}{2} \right ) = 0,11593. \] [\(^*)\) im Text verdruckt] Aus der Bedingung für \(s = 0\), dass \(s v _{1} = a^{- 2}\) werden muss, ergiebt sich \(D = 1\), also \(E = k\). Nachdem hiermit \(v _{0}\) bestimmt ist, folgt der Wert von \(v _{p}\). Da für grosse \(a s\) die Reihen erst sehr spät zu convergiren anfangen, so entwickelt der Verfasser \(v _{0}\) noch in folgender Form: \[ v _{p} = \frac {e^{- a s}}{\sqrt {s}} \left ( A _{0} + \frac {A _{1}}{s} + \frac {A _{2}}{s^{2}} + \ldots \right ) \] und findet: \[ A _{k} = \frac {A _{0}}{(2 a)^{k}} \varPi _{h = 0}^{h = k} \left [ p^{2} - \left ( k - \frac {1}{2} \right )^{2} \right ], \] \[ A _{0} = \sqrt {\frac {a \pi}{2}} \frac {a^{- p}}{1 . 3 \ldots (2 p - 1)}. \]