Correction of a preceding communication on Euler integrals. (Q1547725)

(siehe JFM 14.0225.01) Das Gegenwärtige knüpft an Prym's Zerlegung \[ \varGamma (x) = \sum _{k = 0}^{k = \infty} \frac {(- 1)^{k}}{k ! (x + k)} + Q (x) \] an, wo \(Q (x)\) nach Potenzen von \(x\) entwickelt und die Coefficienten durch bestimmte Integrale dargestellt sind. Der Verfasser stellt dafür folgenden Ausdruck auf: \[ e Q (x) = \frac {1}{ 2 - x - \frac {1 (1 - x)}{ 4 - x - \frac {2 (2 - x)}{6 - x - \frac {3 (3 - x)}{8 - x - \ldots}}}}, \] bewiesen nur für reelle \(x\). Der Beweis stützt sich auf folgenden Satz. ``Sind \(U = \varSigma u _{n} x^{n}\) und \(V = \varSigma v _{n} x^{n}\) zwi Reihen, die für \(0<x<a\) convergiren, für \(x = 0\) divergiren, sind \(u _{n}\) und \(v _{n}\) positiv und ist, für \(n = \infty\), \(\text{lim} \frac {u _{n}}{v _{n}} = \lambda\).'' Dabei wird bemerkt, dass ein speciell Fall dieses Satzes von Appell in den C. R. LXXXVII. 690, s. F. d. M. X. 1878. 184 (JFM 10.0184.01) publicirt ist. In dem späterer Artikel wird hinzugefügt, dass Appell in Grunert Arch. 1879 (LXIV.) 387, siehe F. d. M. XII. 1880. 185 (JFM 12.0185.01) den Satz selbst gegeben hat. Der Appell'sche Satz ist nicht auf die Voraussetzung einer gemeinsamen Grenze der Convergrenz und auf diese Grenze beschränkt, sondern behauptet schlechthin die Gleicheit des Grenzwerts des Quotienten der divergenten Reihensummen mit dem der allgemeinen Glieder, wofern letzterer existirt. Die Herleitung des obigen Ausdrucks für \(Q\) beruht auf der Zerlegung des unbestimmten Integrals in den Quotienten der zwei Grössen \[ z = e^{\frac {1}{1 - x}} (1 - x)^{p}, u = e^{\frac {1}{1 - x}} (1 - x)^{p} \int _{0}^{x} \frac {d x}{(1 - x)^{p + 1} e^{\frac {1}{1 - x}}} \] und Entwickelung derselben nach Potenzen von \(x\). Dann nämlich ist \[ Q (p) = \text{lim} \frac {u}{z} \quad (x = 1). \] Für \(u\) und \(z\) werden Differentialgleichungen gefunden, daraus Relationen für die Coefficienten hergeleitet und diese durch obigen Kettenbruch gelöst. Zum Schluse wird \(Q\) in folgende Reihe entwickelt: \[ e Q (x) = \sum _{k = 0}^ {k = \infty} \frac { n ! (x - 1) (x - 2) \ldots (x - n)}{q _{n} q _{n + 1}}, \] \[ q _{n} = \sum _{h = 0}^ {h = n} \frac {n (n - 1) \ldots (n - h + 1)(n - x)(n - 1 - x) \ldots (n - h + 1 - x)}{h !}. \]