On a proposition concerning linear equations. (Q1547762)

Kann man die Gleichung \[ y''+Py' +(Q-mR)y=0 \] für einen beliebigen Wert des Parameters \(m\) integriren, und ist \(\varTheta\) ein Integral der Gleichung \[ \varTheta''+ P\varTheta' +Q\varTheta=0, \] so wird die Function \[ u=\frac{y'-\frac{\varTheta'}{\varTheta}}{\sqrt{R}} \] ein Integral der Gleichung \[ u'' +Pu' +u[-mR -\varTheta\sqrt{R} \frac{d^2}{dx^2}(\frac {1}{\varTheta\sqrt{R}}) + \varTheta\sqrt{R} \frac{d}{dx}(\frac{P}{\varTheta\sqrt{R}})]=0 \] sein. Dass man durch diesen Satz zu einer unbegrenzten Zahl von gleichungen gelangen kann, die den Parameter in der nämlichen Weise enthalten und für alle Werte des Parameters integrirbar sind, ergiebt sich aus dem Beispiel \(y''=my\). Durch die Anwendung von \(\varTheta=x\) als Lösung von \(\varTheta''=0\) erhält man die Gleichung \[ y''=(\frac{1.2}{x^2} +m)y; \] aus dieser wieder, indem man die Lösung \(\varTheta=x^2\) von \(\varTheta''=\frac{1.2}{x^2}=\varTheta\) wählt: \[ y''(\frac{2.3}{x^2} +m)y,\; \text{u. s. f.} \]