Zur Theorie der Integration eines Systems von \(n\) nicht linearen partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung mit zwei unabhängigen und \(n\) abhängigen Veränderlichen. (Q1547794)

In einem früheren Aufsatze [Borchardt J. 81, p. 243 ff.; cf. JFM 08.0203.02] hat der Herr Verfasser die Integration eines Systems von \(n\) linearen partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung mit zwei unabhängigen und \(n\) abhängigen Veränderlichen und im Anschluss daran die Integration einer speciellen Klasse nicht linearer partieller Differentialgleichungen unter gewissen Bedingungen auf die von Systemen totaler Differentialgleichungen zurückgeführt. In der vorliegenden Arbeit hat sich der Verfasser die Aufgabe gestellt, auch die Integration eines allgemeinen Systems von \(n\) nicht linearen partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung mit den unabhängigen Variabeln \(x\), \(y\) und den \(n\) abhängigen \(z_1,\ldots,z_n\) \[ \text{(1)} \quad f_i(x,\;y,\;z_1,\ldots,z_n,\;p_1,\ldots,p_n,\;q_1,\ldots,q_n)=0 \] \[ \left ( i=1,\ldots,n,\quad p_k=\frac{\partial z_k}{\partial x},\quad q_k=\frac{\partial z_k}{\partial y}\right ) \] zurückzuführen auf die Integration von unvollständigen Systemen totaler Differentialgleichungen. Da dies Problem darauf hinauskommt, folgendes System von \(3 n\) linearen partiellen Differentialgleichungen zwischen den Veränderlichen \(x\), \(y\) und dem als Functionen derselben zu betrachtenden Variabeln \(z_1,\ldots,z_n,\;p_1,\ldots,p_n,\;q_1,\ldots,q_n\): \[ (2)\qquad\left\{\begin{aligned} & \sum_k \left ( \frac {\partial f_i}{\partial p_k} \frac {\partial p_k}{\partial x} + \frac {\partial f_i}{\partial q_k} \frac {\partial q_k}{\partial y} \right ) = - \frac {\partial f_i}{\partial x}- \sum_k \frac {\partial f_i}{z_k} p_k,\\ & \sum_k \left ( \frac {\partial f_i}{\partial p_k} \frac {\partial q_k}{\partial x}+ \frac {\partial f_i}{\partial q_k} \frac {\partial q_k}{\partial y} \right ) = - \frac {\partial f_i}{\partial y}- \sum_k \frac {\partial f_i}{z_k} q_k,\\ & \sum_k \left ( \frac {\partial f_i}{\partial p_k} \frac {\partial z_k}{\partial x} + \frac {\partial f_i}{\partial q_k} \frac {\partial z_k}{\partial y} \right ) = \sum_k \left ( p_k \frac{\partial f_i}{\partial p_k}+q_k \frac {\partial f_i}{\partial q_k} \right ),\end{aligned}\right. \] \[ (i,\; k=1,\ldots,n) \] zu integriren, so ist die l. c. entwickelte Integrationsmethode sofort anwendbar, und zwar führt dieselbe in dem vorliegenden Falle, statt wie im Allgemeinen bei einem System von \(3n\) linearen partiellen Differentialgleichungen auf \(3n\) Systeme von je zwei, nur auf \(n\) Systeme von je \(n+3\) totalen Differentialgleichungen zwischen \(3n+2\) Veränderlichen. Ist \(\mu\) eine Wurzel der Gleichung \[ \varphi(\mu) \equiv\begin{vmatrix} \frac {\partial f_1}{\partial q_1}-\mu \frac {\partial f_1}{\partial p_1},\dots,\frac{\partial f_n}{\partial q_1}-\mu \frac {\partial f_n}{\partial p_1}\\ \\ \hdotsfor1\\ \hdotsfor1\\ \\ \frac {\partial f_1}{\partial q_n}-\mu \frac {\partial f_1}{\partial p_n},\dots,\frac{\partial f_n}{\partial q_n}-\mu \frac {\partial f_n}{\partial p_n}\end{vmatrix}\;=0, \] und sind \(l_1,\ldots,l_n\) \(n\) Grössen, proportional den Unterdeterminanten der Elemente einer Horizontalreihe dieser Determinante, so lautet eins dieser Systeme: \[ (3)\qquad \left\{\begin{matrix}\r & \l\\ dy=\mu dx,\,& dz_1=(p_1+q_1\mu)dx,\ldots,d z_n=(p_n+q_n\mu)dx,\\ & \sum_{i,k} l_i\frac{\partial f_i}{\partial p_k}dp_k=-dx\sum_i l_i \frac {df_i}{dx},\\ & \sum_{i,k} l_i\frac{\partial f_i}{\partial p_k}dq_k=-dx\sum_i l_i \frac {df_i}{dy},\end{matrix}\right. \] \[ \left ( \text{wo} \; \frac{df_i}{dx}=\frac{\partial f_i}{\partial x}+\sum_k \frac {\partial f_i}{\partial z_k} p_k,\quad \frac {df_i}{dy}=\frac{\partial f_i}{\partial y}+\sum_k \frac {\partial f_i}{\partial z_k} q_k \; \text{ sein soll} \right ). \] Vorausgezetzt, dass die Wurzeln der Gleichung \(\varphi(\mu)=0\) sämmtlich von einander verschieden sind, und dass jedes der für diese Wurzeln sich ergebenden Systeme (3) je ein Integral \(v_k=c_k\) zulässt, so bestimmte man aus diesen \(n\) Integralgleichungen und den \(n\) gegebenen Gleichungen \(f_1=0,\ldots,f_n=0\) die \(2n\) Grössen \(p_1,\ldots,p_n,q_1,\ldots,q_n\) als Functionen von \(x\), \(y\), \(z_1,\ldots , z_n \); dann bilden die Gleichungen \[ dz_i=p_i dx+q_i dy \qquad (i=1,\ldots,n) \] ein integrables System, dessen Integration \(z_1,\ldots,z_n\) als Functionen von \(x\), \(y\), \(c_1,\ldots,c_n\) und \(n\) neuen Constanten liefert, und diese Functionen stellen die vollständige Lösung des Systems (1) mit \(2n\) Constanten dar. Ist \(w_k=\) const. ein zweites von \(v_k=c_k\) verschiedenes Integral des ein und derselben Wurzel \(\mu_k\) entsprechenden Systems (3), und bedeutet \(\psi_k(v_k,\; w_k)\) eine willkürliche Function von \(v_k\) und \(w_k\), so ergeben in derselben Weise, wie oben die Gleichungen \(v_k=c_k\), \(f_k=0\), die \(2n\) Gleichungen \[ \psi_k=0,\; f_k=0 \qquad (k=1,\ldots,n) \] die allgemeine Lösung des Systems (1) mit \(n\) willkürlichen Functionen. Analog, wie das in der citirten Abhandlung gegebene Verfahren auf dei Integration einer linearen partiellen Differentialgleichung \(n^{\text{ter}}\) Ordnung zwischen einer abhängigen und zwei unabhängigen Variablen angewendet wird, wird in einer zweiten Abschnitte der vorliegenden Abhandlung nach einer ähnlichen Methode, wie der oben angegebenen, die Integration einer nicht linearen partiellen Differentialgleichung \(n^{\text{ter}}\) Ordnung Ordnung zwischen einer abhängigen und zwei unabhängigen Variabeln auf die Integration von Systemen totaler Differentialgleichungen zurückgeführt. ie resultate stimmen für \(n = 2\) mit denjenigen überein, die Herr Darboux (Ann. de l'Ec. Norm. VII. 163-173) auf anderem Wege erhalten hat.