On the theory of sets of points. (Q1547817)

Der Verfasser giebt in den vorliegenden Noten (siehe auch JFM 14.0322.01) die ersten Beispiele für discontinuirliche Punktmengen, die in keinem noch so kleinen Intervalle überall dicht sind, und für welche doch die Summe der Umgebungen dieser Punkte sich nicht beliebig verkleineren lässt, sondern einen endlichen Grenzwert besitzt. Die Beispiele betreffen einmal die Anordnung solcher Punktmengen auf einer Curve und weiter in der Ebene. Es wird dabei das Vorhandensein von Functionen einer complexen Variablen angedeutet, für welche die Punkte der Menge wesentliche Unstetigkeitsstellen sind. Hierauf beziehen sich noch weitere Untersuchungen des Verfassers über ,,Die Fourier'sche Reihe`` gleichfalls im XXVII. Bande von Schlömilch's Z. (vgl. diese Fortschr. p. 185-187, JFM 14.0185.03). Auf das Vorhandensein derartiger Punktmengen und weitere zugehörige Beispiele haben inzwischen auch Harnack (Klein Ann. XIX. p. 239) und Cantor (Klein Ann. XXI. p. 590) aufmerksam gemacht. Man vergl. ferner hierzu den Aufsatz von Harnack im XXIII. Bande von Klein's Ann. ,,Ueber die Abbildung einer stetigen linearen Mannigfaltigkeit auf eine unstetige.``