Proof of the theorem that a single valued analytic function comes arbitrarily near every value in every neighborhood of an essential singluarity. (Q1547836)

Eine Function \(f(x)\) sei als Function einer complexen Variabeln eindeutig bestimmt in jedem Punkte eines Gebietes \(F\) mit Ausnahme eines darin gelegenen Punktes \(a\), und \(f(x)\) sei zugleich mit \(f'(x)\) im ganzen Gebiete ausser \(a\) stetig. Alsdann können folgende drei Fälle eintreten: 1) Es existirt eine Potenzreihe von \(x-a\), so dass in der Umgebung von \(a\) \[ f(x)=b_{0}+b_{1}(x-a)+b_{2}(x-a)^{2} + \cdots; \] 2) \(f\) kann in der Umgebung von \(a\) nach positiven und negativen Potenzen von \(x-a\) entwickelt werden, wobei die negativen in endlicher Form auftreten: \[ f(x)=(x-a)^{-n} \{ b'_{0}+b'_{1}(x-a)+\cdots \}, \quad n \quad \text{ganz} .; \] 3) \(f(x)\) wird in unendlicher Nähe von \(a\) sowohl beliebig gross als auch beliebig klein. Dies wird mit Hülfe Weierstrass'scher Principien bewiesen. Als Beispiele dienen \(e^{\frac{1}{x}}\), \(\sin \frac{1}{x}\) und \(\cos\frac{1}{x}\), \(\text{tg} \frac{1}{x}\) und \(\text{cotg} \frac{1}{x}\). Ist \(\varphi(x)\) eine eindeutige analytische Function mit einer wesentlich singulären Stelle im Unendlichen und doppelt-periodisch, so nimmt \(\varphi \left( \frac{1}{x} \right)\) in jedem den Nullpunkt enthaltenden Gebiet jeden Wert unendlich oft an.