On functions that, for certain values of the variable, differ little from zero. (Q1547857)

Weicht die Function \(F(x)\) zwischen den Grenzen \(x=-h\) und \(x=+h\) wenig von Null ab, so kann sie für einen ausserhalb dieser nahe bei denselben liegenden Wert von \(x\) nur dann gross werden, wenn ihr Grad ziemlich gross ist. In der angeführten Abhandlung wird die Aufgabe gelöst, die höchste Grenze für den Wert, den eine Function \(n\)-ten Grades, welche nicht mehr als um \(\pm C\) von Null zwischen den Grenzen \(x=-h\) und \(x=+h\) abweicht, für einen ausserhalb dieser liegenden Wert \(H\) von \(x\) annehmen kann, zu bestimmen. Da durch Einführen eines Proportionalitätsfactors der Wert der Function für \(x=H\) immer einer gegebenen Grösse \(M\) gleich gemacht werden kann, so ist nur eine Function zu suchen, die zwischen den Grenzen \(x=-h\) und \(x=+h\) am wenigsten von Null abweicht, und für \(x=H\) den Wert \(M\) annimmt; dann wird das Verhältnis \(M:L\), wenn jetzt \(L\) die grösste Abweichung dieser Function von Null zwischen \(x=-h\) und \(x=+h\) bezeichnet, die gesuchte höchste Grenze des Wertes der Function für \(x=H\) relativ zu der grössten Abweichung zwischen genannten Grenzen geben. Wenn die Aufgabe auf diese letzte zurückgeführt worden ist, wird sie durch dieselben Betrachtungen gelöst, von denen der Verfasser in seiner Abhandlung: Sur les questions de minima qui se rattachent à la représentation approximative des fonctions [Mémoires de l'Acad. Imp. des Sciences de St. Pétersb. sixième série. Sciences mathématiques et physiques. T. 7, 199--291 (1859), Œuvres. Volume 1, 273--378, Chelsea, New York (1961)] Gebrauch gemacht hatte, und die in dem ,,Calcul différentiel`` von Bertrand S. 512--521 angeführt sind. Dieselbe Aufgabe wird auch in Bezug auf die trigonometrische Function \[ A_{0}+A_{1} \cos \varphi+A_{2} \cos 2 \varphi+ \cdots +A_{n} \cos n \varphi \] \[ +B_{1} \sin \varphi +B_{2} \sin 2 \varphi + \cdots +B_{n} \sin n \varphi \] gelöst.