On the number \(\pi\). (Q1547872)

In seiner Abhandlung: Sur la fonction exponentielle [C. R. Acad. Sci., Paris 77, 18--24 (1873); 77, 74--79 (1873); 77, 226--233 (1873); 77, 285--293 (1873; JFM 05.0248.01)] hat Herr \textit{Ch. Hermite} die Unmöglichkeit einer Relation von der Form \[ N_{0}e^{z_{0}}+N_{1}e^{z_{1}}+\cdots+N_{n}e^{z_{n}}=0 \] bewiesen, wo sowohl die \(z\) als die \(N\) als ganz vorausgesetzt werden. Herr Lindemann (siehe auch JFM 14.0369.02, JFM 14.0369.03) erweitert die hier gemachten Schlüsse und gelangt zu folgendem Satze: ,,Sind \[ f_{1}(z)=0, f_{2}(z)=0,\ldots, f_{s}(z)=0 \] \(s\) algebraische Gleichungen, von denen jede irreductibel und von der Form \[ z^{n}+a_{1}z^{n-1}\ldots+a_{n}=0 \] ist, wo unter \(a_{1}\), \(a_{2}\),\(\ldots\), \(a_{n}\) ganze Zahlen zu verstehen sind, werden ferner mit \(z_{i}\), \(z_{i} '\), \(z_{i} ''\),\(\ldots\) die Wurzeln der Gleichung \(f_{i}(z)=0\) bezeichnet, wird kurz \[ \varSigma e^{z_{i}}=e^{z_{i}}+e^{z_{i} '}+e^{z_{i} ''}+\ldots \] gesetzt, bedeuten endlich \(N_{0}\), \(N_{1}\),\(\ldots\), \(N_{s}\) beliebige ganze Zahlen, welche nicht sämmtlich gleich Null sind, so kann eine Relation von der Form \[ 0=N_{0}+N_{1}\varSigma e^{z_{1}}+N_{2}\varSigma e^{z_{2}}+\cdots+N_{s}\varSigma e^{z_{s}} \] nicht bestehen, es sei denn, dass eine der Grössen \(z\) gleich Null ist.`` Ersetzt man die Gleichungen \(f_{i}(z)=0\) durch diejenigen irreduciblen Gleichungen, welche bez. von den Zahlen \[ Z_{1}=z_{1}, Z_{2}=z_{1}+z_{2}, Z_{3}=z_{1}+z_{2}+z_{3},\ldots, Z_{n}=z_{1}+z_{2} \cdots +z_{n} \] befriedigt werden, so führt dieser besondere Fall zu dem Satze: ,,Ist \(z\) eine von Null verschiedene rationale oder algebraisch irrationale Zahl, so ist \(e^{\tau}\) immer transcendent.`` Damit ist bewiesen, dass die Ludolph'sche Zahl \(\pi\) eine transcendente Zahl ist. Die angeführten Sätze bleiben bestehen, wenn man unter den \(N_{i}\) nicht ganze oder rationale, sondern beliebige algebraisch-irrationale Zahlen versteht. Analog folgt aus dem obigen Satze der folgende: ,,Versteht man unter \(N_{0}\), \(N_{1}\),\(\ldots\), \(N_{n}\) beliebige, und unter \(z_{0}\), \(z_{1}\),\(\ldots\), \(z_{n}\) beliebige, von einander verschiedene (reelle oder complexe) algebraische Zahlen, so kann eine Relation von der Form \[ 0=N_{0}e^{z_{0}}+N_{1}e^{z_{1}}+\cdots+N_{n}e^{z_{n}} \] nicht bestehen, es sei denn, dass die \(N_{i}\) sämmtlich gleich Null werden.``