Some properties of the Dirichlet functions \(F(x)= \sum \left( \frac{D}{n} \right) \frac{1}{n^s}\) occurring in the determination of the class numbers of binary quadratic forms. (Q1547873)

Durch Vergleichung der beiden von Herrn Schlömilch gegebenen Relationen \[ f(s)= \left( \frac{2}{\pi} \right)^2 \cdot \sin \left( \frac{s \pi}{2} \right) \cdot \Gamma(s) \cdot f(s), \] wo \[ f(s)= \frac{1}{1^s} - \frac{1}{3^s} + \frac{1}{5^s} - \frac{1}{7^s} + \cdots + (1)^n \frac{1}{(2n+1)^s} + \cdots, \] und \[ \varphi (1-s) = \frac{2^{s}-1}{2^{s-1}-1} \cdot \frac{2}{(2\pi)^s} \cdot \cos \left( \frac{1}{2} s \pi \right) \cdot \Gamma(s) \cdot \varphi(s), \] wo \[ \varphi(s) = \frac{1}{1^s}-\frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} - \cdots + (-1)^{n} \frac{1}{n^s} + \cdots, \] mit der von Riemann (,,Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grenze'') betrachteten Function \[ \zeta(s)= \frac{1}{1^s} + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \cdots + \frac{1}{n^s} + \cdots, \] für welche er u. A. die Gleichung \[ \zeta(1-s) = \frac{2}{(2 \pi)^s} \cos \left( \frac{s \pi}{2} \right) \cdot \Gamma(s) \cdot \zeta(s) \] herleitet, ist der Herr Verfasser zu allgemeinen, die obigen als specielle Fälle enthaltenden Sätzen, gelangt. Seine Untersuchungen betreffen die Dirichlet'sche Function \(F(s,D)\), welche, wenn \(D \equiv 1\pmod 4\) ist, \[ = \frac{1}{1- (-1)^{\frac{D^2-1}{8}} \cdot \frac{1}{2^s} \cdot \sum \left( \frac{D}{n} \right) \cdot \frac{1}{n^s}}, \] in allen übrigen Fällen \( = \sum \left( \frac{D}{n} \right) \cdot \frac{1}{n^s}\) gesetzt wird, wo die Summe sich auf alle \(n\) erstreckt, die positiv, ganzzahlig und relativ prim zu \(2D\) sind. Als Resultat der Untersuchung ergeben sich folgende Sätze: I. ,,Die Functionen \(F(s,D)\) sind durchaus eindeutige Functionen der complexen Variabeln \(s\).'' II. ,,Alle Functionen \(F(s,D)\), mit einziger Ausnahme von \(F(s,1)\), haben einen endlichen Wert des Arguments \(s\).'' III. ,,Die Function \(F(s,1)\) hat für jeden im Endlichen gelegenen Wert von \(s\) selbst einen endlichen Wert, mit Ausnahme der Stelle \(s=1\), wo \(F(s,1)\) so unendlich wird, dass \(\lim [(s-1)F(s,1)]_{s=1}\) ist.'' IV. ,,Die Functionen \(F(s,D)\) genügen folgenden einfachen Relationen: \[ F(1-s,D)= \left( \frac{2 \pi}{\kappa D} \right)^{1-s} \cdot \frac{\Gamma (s)}{\pi} \cdot \root\of{\kappa D} \cdot \cos \left( \frac{s \pi}{2} \right) \cdot F(s,D), \] oder auch \[ F(1-s,D)= { \left( \frac{\kappa D}{\pi} \right) }^{s-\frac{1}{2}} \cdot \frac{\Gamma \left( \frac{s}{2} \right) }{\Gamma \left( \frac{1-s}{2} \right) } \cdot F(s,D), \] wenn \(D\) positiv ist; \[ F(1-s,D)= { \left( \frac{2 \pi}{-\kappa D} \right) }^{1-s} \cdot \frac{\Gamma (s)}{\tau} \cdot \root\of{- \kappa D} \cdot \sin \left( \frac{s \pi}{2} \right) \cdot F(s,D), \] oder auch \[ F(1-s,D)= { \left( \frac{- \kappa D}{\pi} \right) }^{s- \frac{1}{2}} \cdot \frac{\Gamma \left( \frac{s}{2}+\frac{1}{2} \right)}{\Gamma \left( \frac{1-s}{2}+\frac{1}{2} \right) } \cdot F(s,D), \] wenn \(D\) negativ ist. Dabei ist \(\kappa=1\) für \(D \equiv 1\pmod 4\) und \(\kappa =4\) in allen übrigen Fällen''.