Evaluation of certain pseudo elliptic integrals. (Q1547877)

Als pseudoelliptische Integrale bezeichnete Malet Integrale von der Form \[ \int f[x,R(x)]dx, \] wo \(f\) irgend eine algebraische Function und \(R(x)\) die Quadratwurzel aus einem Polynom dritten oder vierten Grades. Diese lassen sich nicht auf die Legendre'schen Normalformen bringen, doch gelingt es bisweilen, sie in endlicher Form zu integriren. Mit solchen Integralen hat sich bereits Legendre beschäftigt (Traité des fonctions ell. Paris 1827. t. I. p. 136), apäter Clausen (Astr. Nachr. Nr. 422, Grunert Arch. III. 335) und Malet (Brioschi Ann. (2) VI. 252, s. F. d. M. VI. (1875) 174, JFM 06.0174.01). Herr Günther beschäftigt sich mit dem Integrale \[ \int\frac{xdx}{(x^{3}+8)\root\of{x^{3}-1}}, \] welches Clausen \[ =\frac{1}{18} \text{arctg} \frac{3x(x-1)}{(4-x)\root\of{x^{3}-1}} \] \[ +\frac{1}{12\root\of{3}}\log\frac{\root\of{x^2+x+1}+\root\of{3(x-1)}}{\root\of{x^2+x+1}-\root\of{3(x-1)}}+ \text{const}. \] gefunden hat; und indem er versucht, den Weg, auf welchem Clausen zu diesem Resultate gelangt ist, zu ermitteln, gewinnt er ein Criterium, mit dessen Hülfe man gewissen Fällen entscheiden kann, ob ein vorgelegtes elliptische Integral sich in endlicher Form darstellen lässt.