Ueber das Polvierseit. (Q1548133)

Wenn man in Bezug auf einen Kegelschnitt \( K \) zu den drei Seiten \( S_1, S_2, S_3 \) eines Dreiseits die Pole \( P_1, P_2, P_3 \) bestimmt, so sind natürlich die drei Seiten \( S_{23}, S_{13}, S_{12} \) des von \( P_1, P_2, P_3 \) gebildeten Dreiecks auch Polaren der drei Ecken \( P_{23}, P_{13}, P_{12} \) des aus \( S_1, S_2, S_3 \) bestehenden Dreiecks. Es liegen aber auch das Dreieck \( P_1 P_2 P_3 \) und das Dreieck \( P_{23} P_{13} P_{12} \) perspectiv, so dass die Verbindungslinien \( P_1 P_{23}, P_2 P_{13}, P_3 P_{12} \) , welche bez. \( S_{14}, S_{24}, S_{34} \) heissen mögen, sich in einem einzigen Punkte \( P_4 \) schneiden, und auch die Schnittpunkte der Seitenpaare \( S_1 S_{23}, S_2 S_{13}, S_3 S_{12} \) , welche bez. \( P_{14}, P_{24}, P_{34} \) heissen mögen, auf einer einzigen geraden Linie \( S_4 \) liegen. Hieraus geht ferner hervor, dass auch \( P_4 \) Pol von \( S_4 \) in Bezug auf \( K \) sein muss. Die eben bezeichneten zehn Punkte und zehn geraden Linien bilden also eine Configuration, welche die Eigenschaft hat, dass zehnmal drei der zehn Punkte in einer der geraden Linien liegen, und auch zehnmal drei der zehn geraden Linien sich in einem der zehn Punkte scheiden. Von dieser bekannten Configuration, welche der Referent gern auch als Schnitt der zehn Verbindungslinien und der zehn Verbindungsebenen von fünf Punkten im Raume aufgefasst gesehen hätte, zählt der Verfasser mehrere merkwürdige Eigenschaften auf, welche teils der Configuration an sich angehören, teils auch auf den Kegelschnitt \( K \) Bezug nehmen. Namentlich betrachtet der Verfasser die fünfzehn Verbindungsgeraden, welche entstehen, wenn man jeden der zehn Punkte mit denjenigen drei Punkten der Configuration verbindet, mit denen er noch nicht durch eine der zehn Geraden der Configuration verbunden ist. Diese fünfzehn Verbindungsgeraden lassen sich nämlich zu fünf Dreiseiten \(\Delta_{1}, \Delta_{2}, \dots , \Delta_{5}\) zusammenfassen, welche u. A. die Eigenschaft haben, dass je zwei von ihnen wiederum perspectiv sind. Eine andere von Herrn Brill erwähnte Eigenschaft spricht aus, dass die sechs Osculationspunkte der sechs Kegelschnitte, welche durch die drei Ecken eines der fünf Dreiecke \(\Delta\) gehen und zugleich den Kegelschnitt \( K \) dreipunktig berühren, zugleich Osculationspunkte für die den vier andern Dreiecken \(\Delta\) umschriebenen Kegelschnitte sind. Schliesslich wird angegeben, wie sich hierdurch aus \( K \) und einem der fünf Dreiecke \(\Delta\) die übrigen linear construiren lassen.