Sur les hypercycles. (Q1548145)

In den vorliegenden Noten ist eine Reihe von, namentlich ihrer Ableitung nach, sehr eleganten Sätzen zusammengestellt über gewisse Curven vierter Klasse und sechster Ordnung mit der unendlich fernen Geraden als Doppeltangente, welche Laguerre als Hypercyklen bezeichnet. Insbesondere ist dabei das Princip hervorzuheben, die auszuführenden geometrischen Constructionen dadurch zu vereinfachen und vor allem weniger vieldeutig zu machen, dass die algebraischen Curven als von ihren Tangenten umhüllt mit einem bestimmten Richtungssinn behaftet aufgefasst werden, indem der Tangente ein solcher zuerteilt wird. Nur den Curven, für welche die Parallelcurven aus zwei getrennten Zügen bestehen, kann dann ein bestimmter Richtungssinn beigelegt werden, (courbes de dirtection). Die Gerade mit fixirter Richtung wird als ``Halbgerade'', der Kreis mit gegebener Richtung als Cyklus bezeichnet. Dann giebt es z. B. an zwei Cyklen nur zwei gemeinsame Tangenten, indem der Sinn der Durchlaufung von Tangente und Kreis übereinstimmen muss; in ein Dreieck lässt sich nur ein einziger Kreis (von bestimmtem Sinne) einschreiben, u. s. w. Von den folgenden Entwickelungen sei nur eine Definition der Hypercyklen herausgegriffen, an welche Darboux (C. R. XCIV. p. 930, vgl. das folgende Referat, JFM 14.0542.01) einige analoge Formulirungen angeschlossen hat. Es seien \( A, A'; B, B' \) , die sich bez. in \( a \) und \( b \) schneiden, gewisse (specielle) Tangentenpaare unserer Curve, \( T \) eine bewegliche Tangente, welche die vier festen beziehungsweise in den Punkte \( \alpha, \alpha' ; \beta, \beta' \) schneidet. So hat für unsere Curven die Relation statt: \[ \alpha a + \alpha' a + b \beta + b \beta' - \beta \alpha - \beta' \alpha' = \text{const.,} \] oder auch, wenn man die beiden Cyklen, welche bez. \( A, A', T \) und \( B, B', T \) berühren, zeichnet und deren Berührungspunkte \( \alpha_0, \beta_0 \) auf \( T \) fixirt: \[ \alpha_0 \beta_0 = \text{const.} \] Dabei giebt es stets specielle Tangentenquadrupel, für welche diese letztere Constante gleich Null ist. Von den weiteren Untersuchungen sei noch eine gewisse durch unsere Curven vermittelte Zuordnung der Geraden der Ebene zu Kreisen erwähnt, welche gewisse Analogieen mit der Zuordnung von Pol und Polare bietet; ferner eine Transformation der Ebene, auf welche der Verfasser in den C. R. XCII. p. 71 (s. F. d. M. XIII. (1881) p. 492, JFM 13.0492.02) näher eingegangen ist, und durch welche sämmtliche derartige Curven, mit Ausnahme eines gewissen Specialfalles, in Parabeln sich überführen lassen.