Ueber eine besondere Klasse von Flächen vierter Ordnung. (Q1548176)

Nachdem der Verfasser (in Klein Ann. XVIII. p. 1-32, siehe F. d. M. XIII. 1881. 490, JFM 13.0490.01) durch Zusammenstellung von vier collinearen räumlichen Ebenensystemen eine gewisse Gattung von Flächen vierter Ordnung, welche von 33 Constanten abhängen, construirt und gezeigt hat, dass jede solche Fläche eine eindeutige Transformation in sich zulässt, stellt er nun die Frage nach solchen collinear erzeugten Flächen vierter Ordnung, für welche die zugehörige eindeutige Transformation der Fläche in sich eine collineare ist. Gewissen Curven \( c_6 \) , resp. \( g_6 \) von \( F^4 \) müssen dann wieder gleichartige Curven entsprechen, während im Allgemeinen einer \( c_6 \) oder \( g_6 \) eine Curve \( 14^{\text{ter}} \) Ordnung zugehört. Hieraus muss man schliessen, dass die letztere Curve zerfällt und als Bestandteil acht feste Gerade von \( F^4 \) enthält. Es wird nun die Anordnung dieser zweimal acht Geraden näher untersucht und folgendes Resultat gewonnen: ``Die allgemeinste Fläche vierter Ordnung, welche sich durch vier collineare räumliche Systeme so erzeugen lässt, dass die zugehörige eindeutige Transformation der Fläche in sich eine collineare wird, erhält man dadurch, dass man durch die sechzehn Schnittlinien der Seitenflächen zweier einfach hyperboloidisch liegender Tetraeder irgend eine Fläche vierter Ordnung legt; die durch die vier hyperboloidischen Lagen bedingten Beziehungen der Seitenflächen der beiden Tetraeder gehen dabei durch cyklische Vertauschung aus einander hervor. Die Fläche enthält noch sechzehn andere gerade Linien, welche ebenfalls die Schnittlinien zweier vierfach hyperboloidisch liegender Tetraeder sind. Diese Fläche kann im Ganzen auf vier Arten collinear erzeugt werden, und allen vier Erzeugungen gehört dieselbe collineare Transformation zu; sie führt die Seitenflächen jener vier Tetraeder cyklisch in einander über.'' Es werden nun solche \( F^4 \) aufgesucht, welche eine collineare Transformation in sich möglichst oft zulassen, was mit der Construction zweier Tetraeder, welche möglichst oft hyperboloidisch liegen, auf das engste zusammenhängt. Die Untersuchung wendet sich deshalb zu solchen Tetraedern, und es wird gezeigt, dass zwei Unterarten solcher Lagen existiren. Die eine erhält man durch zwei Tetraeder, welche neunfach hyperboloidisch liegen und einander gleichzeitig um- und eingeschrieben sind; die andere durch zwei Tetraeder, welche achtfach hyperboloidisch liegen und zwei Quadrupel harmonischer Ebenen bilden. So ergeben sich zwei Arten von \( F^4 \) mit folgenden Eigenschaften: Erstens: ``Jede Fläche vierter Ordnung durch die sechzehn Schnittlinien der Seitenflächen zweier neunfach hyperboloidisch liegender Tetraeder enthält im Ganzen 52 gerade Linien. Dieselben gruppiren sich noch fünfmal zu je sechzehn zu den Schnittlinien der Seitenflächen zweier Tetraeder. Von diesen Tetraedern liegen drei vierfach und zwei sechsfach hyperboloidisch. Die Fläche geht durch vierundzwanzig Collineationen in sich über; drei von ihnen von der Periode vier entsprechen je vier collinearen Erzeugungen der Fläche; vier anderen von der Periode drei gehören als Axen vier ausgezeichnete Gerade der Fläche zu. Durch jede dieser vier Geraden gehen sechs Ebenen, welche die Fläche in vier Geraden schneiden; durch weitere zwölf gehen nur zwei solche Ebenen und durch die übrigen sechsunddreissig je vier. Alle diese Geraden und Ebenen können reell sein.'' Zweitens: ``Legt man durch die sechzehn Schnittlinien zweier Quadrupel harmonischer Ebenen eine Fläche vierter Ordnung, so enthält dieselbe noch zweiunddreissig andere Linien, welche sich ebenfalls als die Schnittlinien von zweimal zwei Quadrupeln harmonischer Ebenen darstellen; die sechs Axen dieser dreimal zwei Quadrupel bilden die gegenüber liegenden Kanten eines Tetraeders. Die Fläche lässt sich zwölfmal so durch collineare ebene Systeme erzeugen, dass die zugehörige eindeutige Transformation der Fläche in sich eine lineare wird.'' Die erste Unterart führt noch auf eine specielle Form von Flächen vierter Ordnung, welche vierundsechzig gerade Linien enthalten und durch 1152 Collineationen in sich übergehen.