Ueber eine Raumcurve vierter Ordnung erster Species. (Q1548177)

Die Raumcurve, welche in diesem Aufsatze ausführlich betrachtet wird, entsteht als gemeinschaftlicher Schnitt dreier orthogonaler Hyperboloide. Es sei ein Tetraeder mit den Ecken \( \mathfrak {A, B, C, D} \) gegeben; durch je zwei Gegenseiten desselben lässt sich eine Regularschaar eines orthogonalen Hyperboloids als Schnitt je zweier durch diese Seiten gelegten auf einander senkrechter Ebenen bestimmen. Diese drei Hyperboloide gehören, wie hier bewiesen wird, einem Büschel an, d. h. sie schneiden sich in einer Raumcurve vierter Ordnung \( C^{(4)} \) . Der Ort der Punkte, von welchen aus gesehen, jedes der drei Paar Gegenkanten eines gegebenen Tetraeders unter rechtem Winkel erscheint, ist eine Raumcurve \( C^{(4)} \) vierter Ordnung. Es folgt hieraus: Jede Ebene, welche auf einer Kante des Tetraeders normal steht, begegnet unserer \( C^{(4)} \) in vier Punkten eines Kreises. Die Fusspunkte \( \mathfrak {a, b, c, d} \) der Höhen des Tetraeders in den Seitenflächen desselben liegen auf \( C^{(4)} \) . In jeder Ecke des Tetraeders schneiden sich drei Seitenflächen desselben und bilden ein Dreikant, dessen Höhenstrahl die Tangente der Raumcurve \( C^{(4)} \) in dieser Ecke ist. Nun ergiebt sich ein anderes Hyperboloid, welches \( C^{(4)} \) enthält. Das gleichseitige Hyperboloid, auf welchem die vier Höhen des Tetraeders liegen, geht durch \( C^{(4)} \) , und die Berührungsebenen am Höhenhyperboloid in den Tetraederecken sind die Schmiegungsebenen von \( C^{(4)} \) in diesen Punkten. Mit Hülfe der acht nun bekannten Punkte von \( C^{(4)} \) werden neue Punkte der Curve construirt und eine grosse Reihe von Sätzen über die gegenseitige Lage von Punktgruppen auf der Curve abgeleitet. So ergiebt sich: Die beiden Tetraeder \( \mathfrak {A, B, C, D} \) und \( \mathfrak {a, b, c, d} \) sind auf vier verschiedene Arten in hyperboloidischer Lage. Das Poltetraeder \( O, O_1, O_2, O_3 \) der Curve und das ursprünliche Tetraeder \( \mathfrak {A, B, C, D} \) liegen auf vierfache Art perspectivisch. Die vier Centren liegen auf \( C^{(4)} \) und liefern ein drittes Tetraeder, welches mit den beiden ersten ein sogenanntes desmisches System bildet. Der Verfasser schliesst mit den Worten: ``Indem ich hiermit die Untersuchung unserer Raumcurve \( C^{(4)} \) vorläufig abschliesse, möchte ich nur noch auf die Ermittelung des particulären Charakters unserer \( C^{(4)} \) gegenüber der allgemeinen Raumcurve vierter Ordnung erster Species die Aufmerksamkeit der Geometer lenken.'' Dem Berichterstatter möge es gestattet sein, hieran folgende Bemerkung zu knüpfen. Die hier betrachtete Curve ist in sofern von \textit{keinem particulären} Charakter, als jede allgemeine Raumcurve vierter Ordnung erster Species mit reellem Poltetraeder durch eine collineare Raumtransformation auf unendlich viele Arten in die specielle Form der von Herrn Schröter betrachteten Curve übergeführt werden kann. Betrachten wir eine beliebige \( C^{(4)} \) und bestmmen zu einem beliebigen Punkte \( \mathfrak A \) derselben diejenigen drei Punkte \( \mathfrak {B, C, D} \) von \( C^{(4)} \) , deren Verbindungsgerade mit \( \mathfrak A \) gegenüber stehende Kanten des zu \( C^{(4)} \) gehörenden Poltetraeders treffen; fügen wir die vier Punkte \( \mathfrak {a, b, c, d} \) hinzu, in welchen die Seitenflächen \( \alpha, \beta, \gamma, \delta \) des Tetraeders \( \mathfrak {A, B, C, D} \) die Curve noch schneiden, so liegen die vier Strahlen \( \overline {\mathfrak {Aa}}, \overline {\mathfrak {Bb}}, \overline {\mathfrak {Cc}} \) und \( \overline {\mathfrak {Dd}} \) auf einem Hyperboloid, welches \( C^{(4)} \) enthält. Je zwei gegenüber stehende Kanten des Tetraeders \( \mathfrak {A, B, C, D} \) liegen ebenfalls auf einem durch \( C^{(4)} \) gehenden Hyperboloide. Somit sind vier durch \( C^{(4)} \) gelegte Hyperboloide bestimmt. Diese Flächen sowie die beiden Tetraeder liefern unter einander und in ihren Beziehungen zu \( C^{(4)} \) dieselben projectiven Eigenschaften, welche die in gleicher Art bezeichneten Flächen und Tetraeder des Herrn Schröter unter einander und zu der von ihm betrachteten Raumcurve zeigen. Bringt man nun die Ebenen \( \alpha, \beta, \gamma, \delta \) und die Strahlen \( \overline {\mathfrak {Aa}}, \overline {\mathfrak {Bb}}, \overline {\mathfrak {Cc}}, \overline {\mathfrak {Dd}} \) zum Schnitt mit einer beliebigen Ebene \( \nu \) des Raumes, so erhält man vier Gerade \( a, b, c, d \) und vier Punkte \( A, B, C, D \) welche in dieser Folge die Polaren und Pole eines in \( \nu \) hierdurch bestimmten Polarsystems sind. Durch eine collineare Raumtransformation, mittels welcher \( \nu \) in die unendlich ferne Ebene und das auf \( \nu \) befindliche Polarsystem in das Polarsystem des unendlich fernen imaginären Kreises übergeführt wird, geht \( C^{(4)} \) in die specielle von Herrn Schröter betrachtete Form über. Von den vier Hyperboloiden werden drei orthogonal, das vierte gleichseitig. Die Raumtransformation ist immer reell durchführbar, sobald das Polarsystem in \( \nu \) keine reelle Ordnungscurve besitzt, was durch passende Lage von \( \nu \) auf unendlich viele Arten erreicht werden kann.