Sur les courbes planes du sixiéme degré à neuf points doubles. (Q1548191)

Eine ebene Curve sechster Ordnung mit neun Doppelpunkten, also vom Geschlechte 1, hat die Constantenzahl 18. Man könnte daher denken dass es eine oder mehrere solcher Curven giebt, die neun beliebig gegebene Punkte zu Doppelpunkten haben. Es ergiebt sich jedoch, dass bei allgemeiner Lage der neun Punkte keine solche Curve existirt, da die neunten Punkte, welche mit acht beliebig gegebenen Punkten zusammen eine Gruppe der neun Doppelpunkte einer Curve sechsten Grades vom Geschlecht 1 constituiren können, nicht die ganze Ebene ausfüllen, sondern eine Curve neunten Grades bilden, welche die acht gegebenen Punkte zu dreifachen Punkten hat. Die Abhängigkeit der neun Punkte von einander kann auf folgende Art dargestellt werden. Man sondere einen von den neun Punkten aus, er heisse \( A \) , und lege durch die übrigen acht alle \( \infty^1 \) Curven dritten Grades, bestimme den neunten Punkt \( A' \) , den dieselben noch gemein haben, wähle dann die eine Curve aus, welche auch noch durch \( A \) hindurchgeht, und ziehe die beiden Tangenten, welche diese Curve in \( A \) und \( A' \) berühren. Nur wenn der Schnittpunkt dieser beiden Tangenten wiederum auf jener Curve dritten Grades liegt, haben die neun Punkte die verlangte Eigenschaft, Doppelpunkte von Curven sechsten Grades vom Geschlechte 1 sein zu können. Unter den \( \infty^1 \) Curven, die dieselben neun Doppelpunkte haben, giebt es zwölf, welche noch einen zehnten Doppelpunkt besitzen. An die Beweise dieser Resultate, bei denen der Verfasser auch die Darstellung der Punkte einer cubischen Curve durch die Argumente einer doppelt-periodischen Function benutzt, schliesst sich die Ableitung den analytisch-geometrischen Gleichung der untersuchten Curve sechsten Grades, sowie auch die Verallgemeinerung der Resultate auf Curven vom Grade \( 3m \) mit neun \( m- \) fachen Punkten.