Ueber das Problem der Rotation. (Q1548442)

Die Bewegung eines starren Körpers um einen festen Punkt ist für die zwei Fälle bereits gelöst: 1) Der Körper bewegt sich um seinen Schwerpunkt; 2) ein Umdrehungskörper rotirt um einen festen Punkt seiner Axe. Der Verfasser zeigt, dass für einen beliebigen starren Körper vom Gewichte \(P\), welcher um einen festen Punkt \(O\) unter dem Einflusse eines beliebig angreifenden Kräftepaares rotirt, ``die Componente des wirkenden Kräftepaares bezüglich der Richtung der Schwere während der ganzen Dauer der Bewegung constant ist.'' Die Cosinus \(a''\), \(b''\), \(c''\) der Winkel, welche die Verticale \(OZ\) mit den drei Hauptträgheitsaxen \((OX',\) \(OY'\), \(OZ')\) des Körpers bildet, können leicht bestimmt werden. Wenn man diese Werte in die Euler'schen Bewegungsgleichungen einsetzt, bekommt man ein System dreier simultaner linearer Bewegungsgleichungen für die Winkelgeschwindigkeiten \(p\), \(q\), \(r\) der Drehung um \(OX'\), \(OY'\), \(OZ'\). Indem die Bedingung hinzugefügt wird, dass die drei Axen des Kräftepaares, der Figur und der Schwere in einer und derselben Ebene liegen, (dies findet statt, wenn die Axe des afficirenden Kräftepaares, welches die Bewegung im Anfang hervorbringen soll, in die durch die Figuraxe, die Verbindungslinie des festen Punktes \(O\) mit dem Schwerpunkte \(S\), gelegte verticale Ebene fällt), erhält man die beiden Sätze: ``Die Grösse des Kräftepaares, welches den Körper angreift, ist während der ganzen Dauer der Bewegung constant.'' ``Die Kräftepaaraxe beschreibt im Raume einen Kreiskegel, dessen Spitze der feste Drehpunkt ist, und dessen Axe die Richtung der Schwere besitzt.'' Die Lösung vereinfacht sich, wenn man über die Lagen des Schwerpunktes \(S\) und des Unterstützungspunktes \(O\) specielle Annahmen macht. Wenn der Schwerpunkt auf einer durch \(O\) gehenden Hauptaxe liegt, reihen zur Lösung statt der Abel'schen bereits hyperelliptische Functionen aus; wenn das Kräftepaar um die Figuraxe selbst wirkt, gebraucht man nur noch ultraelliptische Functionen, und wenn das anfängliche Kräftepaar um die Axe der Schwere wirkt, erhält man die Grössen, welche die Lagen des Systems bestimmen, in elliptischen Functionen der Zeit. ``Der Kreiskegel, welchen die Kräftepaaraxe im Raume beschreibt, reducirt sich auf die Verticalaxe, so dass diese eine invariable Linie, die Kräftepaarebene (d. i. die Horizontalebene durch den festen Punkt) eine invariable Ebene vorstellt.''