On the oscillations of a viscous spheroid. (Q1548467)

Die hydrodynamischen Gleichungen für incompressible reibende Flüssigkeiten werden hier angewendet zur Bestimmung der kleinen Schwingungen, welche eine nahezu kugelförmige Flüssigkeitsmasse vollführen kann, falls auf dieselben keine andern Kräfte wirken, als die gegenseitige Anziehung der einzelnen Teile. Ist \(v\) das Potential dieser Anziehung, \(p\) der Druck, \(\varrho\) die Dichtigkeit, \(\mu\) der Reibungscoefficient, und setzt man \[ \varpi = \frac{p}{\varrho} - v, \] nimmt ferner an, dass \(\varpi\) sowohl, als die Geschwindigkeitscomponenten \(u\), \(v\), \(w\) von der Form sind \(e^{-\alpha t}\) multiplicirt mit einem von \(t\) unabhängigen Factor, so wird \[ \bigtriangledown^2 \varpi = \frac{\partial^2 \varpi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \varpi}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 \varpi}{\partial z^2} = 0, \] so dass \(\varpi\) unmittelbar in eine nach Kugelfunctionen fortschreitende Reihe entwickelt werden kann. Jede der Geschwindigkeitscomponenten nimmt die Form an \[ u = \frac{1}{\alpha} \frac{\partial \omega}{\partial x} + (u_1 + u_2)e^{-\alpha t}, \] wobei \(u_1\) sowohl als \(u_2\) der Gleichung genügen: \[ (A) \quad \bigtriangledown^2 u + \frac{\alpha \varrho}{\mu} u = 0. \] Berücksichtigt man bei der Lösung der Gleichung (A), zu der noch zwei analoge Gleichungen für die beiden andern Componenten hinzukommen, die Continuitätsgleichung, so ergeben sich, wie durch eine längere Entwickelung begründet wird, die beiden Lösungen: \[ u_1 = \sum_n \psi_n \left\{ y \frac{\partial \chi_n}{\partial z} - z \frac{\partial \chi_n}{\partial y} \right\}, \] \[ u_2 = \sum_n \left\{ \psi_{n-1} \frac{\partial \frac{r^n T_n}{a^n}}{\partial x} - \frac{n}{n+1} (\psi_n - \psi_{n-1}) \frac{r^{2n+1}}{a^{2n+1}} \frac{\partial \left( \frac{a^{n+1}}{r^{n+1}} T_n \right)}{\partial x} \right\}\cdot \] Darin ist \(\chi_n\) eine räumliche harmonische Kugelfunction, \(T_n\) eine Kugelflächenfunction \(n^{\text{ter}}\) Ordnung, während \(\psi_n\) eine Bessel'sche Function mit dem Index \(n+ \frac 12\) ist; nach der bei uns üblichen Bezeichnung wird \[ \psi_n = \frac{1}{r^{n+ \frac 12}} J_{n+\frac 12} \left( r \sqrt{\frac{\alpha \varrho}{\mu}} \right); \] ferner ist \(r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\) und \(a\) der mittlere Radius der nahezu kugelförmigen Masse. Die obigen Summen sind über alle ganzen Zahlen \(n\) auszudehnen. Die Lösung von der Form \(u_1\) stellt nicht-radiale Schwingungen dar. Die Bestimmung der Grösse \(\alpha\) mit Hülfe der Oberflächenbedingungen (diese sind dadurch gegeben, dass auf die Oberfläche, deren Gleichung \(r = a + \varSigma S_n\) ist, wobei \(S_n\) wieder eine Kugelflächenfunction darstellt, ein constanter Druck in der Richtung des Kugelradius ausgeübt wird) ergiebt sich dann aus einer bekannten transcendenten Gleichung. Schwieriger wird die Bestimmung von \(\alpha\) für die Lösung von der Form \(u_2\). Die hier auftretende transcendente Gleichung kann nur für den Fall, dass die Reibung sehr gross oder sehr klein ist, annähernd gelöst werden. Die sich ergebenden Näherungswerte stimmen im ersten Fall mit den von Darwin, im zweiten mit den von Thomson gefundenen Resultaten überein. Einige Bemerkungen über die Dauer der Periode der untersuchten Schwingungen, sowie über die dabei auftretenden Wirbelbewegungen, endlich eine Verification der durch Reihenentwickelung abgeleiteten Resultate mit Hülfe der Zerstreuungs-Function (dissipation function) bilden den Schluss der Arbeit. Die obigen Entwickelungen finden, wie der Verfasser bemerkt, auch auf andere Probleme eine Anwendung, z. B. auf die Schwingungen einer Flüssigkeitskugel, falls nur die Oberflächenspannung wirkt.