L'arithmétique des Grecs dans Héron d'Alexandrie. (Q1548794)

Eine eingehende Studie über die arithmetischen Sätze und Beispiele, die gelegentlich (denn ein speciell aritmetisches Werk ist von diesem Mathematiker nicht bekannt) in den geometrischen Schriften des Alexandriers Heron vorkommen. Der Verfasser handelt zunächst von den Massen des Heron, bespricht sodann das Alter, die Reihenfolge und die Authenticität der einzelnen als heronisch bezeichneten Tractate und wendet sich sodann zu den Quadratwurzeln, von denen bei unserem Autor unverhältnismässig mehr ausgerechnete Näherungswerte sich vorfinden, als bei irgend einem anderen Mathematiker des Altertums. Dass derselbe vor der Ausziehung einer Quadratwurzel nicht die mindeste Scheu hatte, geht nach Herrn Tannery allein schon aus dem Umstande hervor, dass zur Berechnung eines Kreisabschnittes Näherungsformeln mit einer und zwei Quadratwurzeln angewandt werden, während doch eine rationale Formel zur Verfügung stand. Alsdann werden nicht weniger als 25 Näherungswerte, die da und dort verstreut sind, zusammengestellt und nach gewissen Categorien geordnet. Meistenteils begnügte sich Heron mit der bekannten Näherung \[ \sqrt{a^{2}\pm b}=a\pm \frac{b}{2a}, \] denn dass ihm auch der negative Fall geläufig war, beweist das Beispiel \[ \sqrt{63}=\sqrt{8^{2}-1}=8-\frac{1}{16}. \] War eine Genauigkeit erforderlich, so entwickelte Heron durch mehrmalige Anwendung dieses Gedankens die Wurzel in eine Bruchreihe; überhaupt ist als characteristisch die übrigens auch sonst im Altertum fast ausschliesslich angewandte Darstellung \[ \sqrt{a^{2}+b}=a+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\cdots \] zu bemerken. Gelegentlich machte der alexandrische Geodät wohl auch von der Identität \(\sqrt{\alpha^{2}\beta}=\alpha\sqrt{\beta}\) Gebrauch, so z. B. da, wo er \[ \sqrt{108}=\sqrt{6^{2}.3}=6\sqrt{3}=6\cdot\frac{26}{15}= 10+\frac{1}{3}+\frac{1}{15} \] setzt. Nur einige wenige ganz sonderbar verwickelte Näherungswerte spotten jeden Versuchs, sie erklären zu wollen. Von da wendet sich Herr Tannery zu der merkwürdigen Goniometrie Heron's; für sämmtliche reguläre Polygone vom Dreick bis zum Zwölfeck wird der Flächeninhalt als Function der Seite dargestellt. Es sind somit sämmtliche Werte von cotang \(\frac{2\pi}{n}\) \((n=3,4,\dots11,12)\) numerisch berechnet. Wie diese Berechnung vollzogen worden sein könne, gelingt unserem Gewährsmann in sehr befriedigender Weise aufzuklären. Abgesehen von diesen sämmtlich auf Irrationalitäten des zweiten Grades sich beziehenden Stellen participirt die Arithmetik bei Pappus nur noch mit einer natürlich aus geometrischen Erwägungen hervorgegangenen Aufgabe der unbestimmten Analytik: Es soll das vier Unbekannte umfassende simultane Gleichungssystem \[ \begin{aligned} a(x+y)& =u+v,\\ xy& =buv\end{aligned} \] gangzahlig erfüllt werden. Die allgemeinen Lösungsformeln werden hergeleitet, und es zeigt sich, dass diejenigen, auf die Heron gekommen ist, in ersteren als specielle Fälle enthalten sind. Eine ganz ähnliche, wenn schon etwas allgemeinere Lösung ist 1400 Jahre später von Maximus Planudes gegeben worden.