Sur l'introduction des logarithmes dans les critériums qui déterminent une limite supérieure du nombre des racines d'une équation qui sont comprises entre deux nombres donnés. (Q1548857)

Bezeichnet \(f(x)\) eine Function mit positiven Coefficienten, \(a_0,a_1,a_2,\ldots a_n\) Reihe von positiven, ihrer Grösse nach geordneten Constanten und \(m\) die Anzahl der positiven Wurzeln der Gleichung \[ A_0f(a_0x)+A_1f(a_1x)+A_2f(a_2x)+ \cdots + A_nf(a_nx)=0, \] so ist diese Zahl \(m\) höchstens gleich der Anzahl der Zeichenwechsel in der Reihe \[ \begin{matrix} A_0\log \frac{a_0}{a_1}, \quad A_0\log \frac{a_0}{a_1} + (A_0+A_1)\log \frac{a_1}{a_2},\\ A_0\log\frac{a_0}{a_1} + (A_0+A_1)\log \frac{a_1}{a_2} + (A_0+A_1+A_2)\log \frac{a_2}{a_3},\\ \hdotsfor1\\ A_0\log\frac{a_0}{a_1} + (A_0+\cdots +A_{n-1})\log\frac{a_{n-1}}{a_n},\\ A_0+A_1+A_2+\cdots+ A_n.\end{matrix} \] In besonderen Fällen kann man die Einführung der Logarithmen vermeiden, ohne die Genauigkeit der Formel zu vermindern.