Note on a special symmetrical determinant. (Q1548943)

Die erste, der betrachteten Determinanten entsteht durch Subtraction von \(S_3\) von jedem Element der Diagonale der Form, welche aus der Zusammensetzung von Reihen der Formen \[ \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & 0 \\ b_1 & b_2 & 0 \\ c_1 & c_2 & 0 \end{vmatrix} \text{ und } \begin{vmatrix} a_2 & a_1 & 0 \\ b_2 & b_1 & 0 \\ c_2 & c_1 & 0 \end{vmatrix} \] hervorgeht, wobei \[ S_3=a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2. \] Der Wert der Determinante ist, wie gezeigt wird, \[ S_3(a_1^2+b_1^2+c_1^2)(a_2^2+b_2^2+c_2^2). \] Allgemeiner wird gezeigt, dass wenn man zwei Reihen von \(n\) Buchstaben hat, der Wert der ähnlich gebildeten Determinante \[ -(-1)^n S_n^{n-2} (a_1^2+b_1^2+\cdots)( a_2^2+b_2^2+\cdots) \] ist. Wird speciell \( a_1=a_2=a\) etc., so ist \[ \begin{vmatrix}\l & \l & \l\\ 2a^2-\varSigma a^2 & ,\quad 2ab & ,\ldots \\ 2ab & ,\quad 2b^2-\varSigma a^2 & ,\ldots \\ \hdotsfor3 \end{vmatrix} = -(-1)^n \{ \varSigma a^2 \}^n. \]