On the expansion of the infinite product \(1 x)\;(1 x^2)\;(1 x^3)\;(1 x^4)\cdots\) (Q1549059)

Um dieses Product nach Potenzen von \(x\) zu entwickeln, bedient sich der Verfasser folgenden Verfahrens. Ausgehend von der Bemerkung, dass der Coefficient von \(x^w\) offenbar der Ueberschuss der Anzahl der Zerlegungen ven \(w\) in eine grade Zahl verschiedener ganzzahliger Teile über die Anzahl der Zerlegungen in eine ungrade Zahl solcher Teile ist, greift er zunächst diejenigen Zerlegungen (diese stets nach wachsender Grösse der Teile geordnet gedacht) einer beliebigen Zahl \(a\) heraus, die mit 1 beginnen und aus \(r\) Teilen bestehen. Aus diesen erhält man, wenn man die Eins fortlässt und dafür den letzten Teil um eine Einheit erhöht, eben so viel neue Zerlegungen von \(a\), die aus je \(r-1\) Teilen bestehen, mit 2 oder einer grösseren Zahl beginnen und mit keinen zwei aufeinander folgenden Zahlen der natürlichen Zahlenreihe schliessen; und umgekehrt. Diese Zerlegungen können demnach bei der Ermittelung des obigen Ueberschusses fortgelassen werden. Somit bleiben nur diejenigen Zerlegungen zu betrachten übrig, die mit 2 oder einer grösseren Zahl beginnen und mit zwei um eine Einheit verschiedenen Zahlen endigen; auf diese lässt sich dann weiter ein ähnliches Verfahren anwenden u. s. w. Ueberhaupt lassen sich die Zerlegungen einer Zahl \(a\) in Paare conjugirter in folgender Weise anordnen: Man zerlege eine beliebige Zahl \(a\) auf beliebige Weise in von einander verschiedene Summanden und ordne diese nach wachsender Grösse. Es sei \(r\) der erste Summand und \(n\) die Anzahl der letzten Summanden, die je um eine Einheit von einander verschieden sind. Ist dann \(r \leqq n\), so lasse man \(r\) fort und erhöhe die \(r\) letzten Zahlen um je eine Einheit, ist dagegen \(r>n\), so kehre man dies Verfahren genau um. Man erhält keine conjugirte zu einer Zelegung dann und nur dann, wenn sämmtliche auf einander folgende Summanden je um eine Einheit von einander verschieden sind und \(r=n\) oder \(r=n+1\) ist. Da conjugirte Zerlegungen bei der Bestimmung des obigen Ueberschusses irrelevant sind, indem die eine stets eine grade, die andere eine ungrade Zahl von Gliedern enthält, so ergiebt sich hieraus sofort die von Erler auf anderem Wege (Introductio) hergeleitete Entwickelung: \[ \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^nx^{n(3n\pm 1)\over 2}. \]