On linear differential equations with algebraic integrals. (Q1549136)

Zur Bestimmung der linearen Differentialgleichungen mit algebraischen Integralen ist es zunächst nötig, Substitutionsgruppen aufzufinden, die nur aus einer endlichen Anzahl von Substitutionen bestehen. Herr Jordan hat (Mém. de l'Ac. d. Naples) eine allgemeine Methode zur Lösung dieses Problems gegeben. Sind diese Gruppen bekannt, so handelt es sich um die Bildung der entsprechenden Differentialgleichung. Der Verfasser zeigt nun für den Fall der dritten Ordnung, dass jeder der von Herrn Jordan definirten Gruppen eine unendliche Anzahl von linearen Differentialgleichungen dritter Ordnung mit algebraischen Integralen entspricht, in denen die Coefficienten rationale Functionen von der unabhängigen Variablen und einem willkürlichen Parameter \(y\) sind. Betrachtet man aber die Integrale einer solchen Gleichung als Functionen von \(x\) und \(y\), so werden es algebraische Integrale dieser Variablen sein und werden nicht nur der betrachteten gewöhnlichen Differentialgleichung, sondern noch einer unendlichen Zahl linearer partieller Differentialgleichungen mit rationalen Coefficienten genügen. Wie der Verfasser bemerkt, gilt dieses Resultat für alle Ordnungen.