On a class of linear differential equations. (Q1549151)

Sind \(P=\;ax+b\) und \(Q=\;a'x+b'\) zwei Binome ersten Grades, \(h,k,\ldots B,C,\ldots\) Constanten, dann haben die Gleichungen von der Form \[ \text{(1)}\;\ldots BQ^hP^{n-h}\frac{d^n[P^hQ^{n-h}y]}{dx^n}+CQ^k \frac{d^p[P^kQ^{p-k}y]}{dx^p}+\ldots=0 \] zum allgemeinen Integral \[ y=\;C_1P^{\alpha_1}Q^{1-\alpha_1}+C_2P^{\alpha_2}Q^{1-\alpha_2}+\ldots , \] wo \(\alpha_1,a_2, \ldots\) die Wurzeln der Gleichung \[ \ldots B(ab'-a'b)^n(\alpha +h)(\alpha +h-1) \ldots (\alpha +h-n+1) \] \[ +C(ab'-a'b)^p(\alpha +k)(\alpha +k-1) \ldots (\alpha +k-p+1)+ \cdots= 0 \] sind. Es ist zu bemerken, dass die Constanten \(h, k\ldots\) beliebig geändert werden können, ohne dass die Gleichung (1) geändert wird, wofern nur gleich zeitig auch \(B, C\ldots\) so modificirt werden, dass die characteristische Gleichung für die \(\alpha\) dieselbe bleibt. Fallen die Binome \(P\) und \(Q\) zusammen, dann ist das allgemeine Integral \[ y=\;C_1 \frac 1P e^{\frac{\alpha_1}{P}}+C_2 \frac 1P e^{\frac{\alpha_2}{P}}+\cdots , \] wo die \(\alpha\) durch die Gleichung \[ \ldots B(-a \alpha)^n+C(-a \alpha)^p+\ldots=0 \] bestimmt sind. Um die adjungirte Gleichung von (1) zu erhalten, hat man nur \(P\) und \(Q\) mit einander zu vertauschen und die Vorzeichen der die Derivirten von ungrader Ordnung enthaltenden Glieder zu verändern.