Discussion of the differential equation \(s = F(z)\). (Q1549183)

Nach Moutard's alten, leider noch nicht in extenso publicirten Untersuchungen kennt man alle partiellen Differentialgleichungen zweiter Ordnung von der Form \[ \text{(1)}\quad s= F(x,y,z,p,q), \] deren Integrale Ampère's erster Classe angehören. Diese Gleichungen sind bekanntlich zugleich die allgemeinsten der Form (1), die vermöge Darboux's allgemeiner Integrationstheorie erledigt werden können. Wie es scheint, hat noch Niemand die Frage beantwortet oder nur behandelt, ob es Gleichungen zweiter Ordnung giebt, deren Integrale nicht Ampère's erster Classe angehören, welche nach Lévy's Integrationstheorie (C. R. LXXV. 1094, s. F. d. M. IV. 1872. 172 (JFM 04.0172.03)) integrirbar sind. Diese Frage wird im ersten Teile der vorliegenden Note für die Gleichungen der einfachen Form \(s= F(z)\) entschieden. Das Interesse dieser Untersuchung beruht übrigens wesentlich nur darin, dass die angewandte Methode sich mit vollständigem Erfolge auf alle Gleichungen der Form \(s= F(x, y, z)\) anwenden lässt. Der zweite Teil der Note giebt eine vollständige Transformations-Theorie der Gleichung \(s=F(z)\). Besonderes Interesse bietet die Liouville'sche Gleichung \(s= Ae^{kz}\) dar. Dieselbe wird nämlich durch unbegrenzt viele Berührungstransformationen, die sämintlich bestimmt werden, in sich transformirt. Alle anderen Gleichungen der Form \(s= F(z)\) gestatten nur die folgende, sozusagen evidente Transformation in sich, nämlich \[ x'= mx+a,\;\;y'= \frac 1my+b, \] wobei \(m\),\( a\) und \(b\) willkürliche Constante bezeichnen. Diese letzte einfache Bemerkung findet eine bemerkenswerte Anwendung in der Theorie der Flächen constanter Krümmung, die sich bekanntlich durch eine partielle Differentialgleichung der Form \[ s= K \cdot \sin{}z \] definiren lassen. Man erkennt in der Tat, dass sich aus vorgelegten Fläche constanter Krümmung immer einfach unendlich viele derartige Flächen durch Integration einer gewöhnlichen Differentialgleichung erster Ordnung herleiten lassen. Diesen \(\infty^1\) Flächen entsprechen Parallelflächen mit constanter mittlerer Krümmung, die auf einander abwickelbar sind.