On a proper determination of a function by formal requirements. (Q1549213)

Der Herr Verfasser betrachtet eine Gruppe von Functionalgleichungen, d. h. Beziehungen von Functionen mehrerer Argumente zu sich selbst und zu ihren Umkehrungen, welche vollständig hinreichen, die Function nicht nur innerhalb algebraischer Zahlensysteme vollständig zu definiren, sondern überhaupt Aufschluss über rein formale Zuordnungen zu geben. Fasst man nämlich eine Function \(f_1\) mehrerer Argumente nur hinsichtlich zweier dieser Argumente \((a, b)\) in's Auge, so bestimmt irgend ein Argumenten-Wertepaar \(a_{\nu}, b_{\nu}\) ein gewisses System von Argumenten-Wertepaaren \((a_1 b_1;\;a_2,b_2; \ldots a_{\nu}, b_{\nu}; \ldots a_n, b_n)\), deren Anzahl für die betrachtete Gruppe von Functionalgleichungen characteristisch ist. Dieses System von Wertepaaren wird ein ``endliches, dem Argumentenpaare \(a-_{\nu}, b_{\nu}\) zugeordnetes Zahlensystem'' genannt. Alsdann lassen sich die zugehörigen Functionswerte, die ebenfalls immer nur Zahlen des genannten Systems sind, den Argumentenwerten in ganz bestimmter und durch die Functionalgleichungen mit Notwendigkeit bedingter Weise zuordnen. Die Bedingungen, denen die Function \(f_1(a, b)\) unterworfen werden soll, sind nun folgende: 1) soll \(f_1(a, b)\) sammt ihren nach \(a\) und \(b\) genommenen beiden Umkehrungen vollkommen eindeutig sein, namentlich also auch für jedes Wertesystem der Argumente wirklich einen dem Wertgebiet der letzteren angehörigen Zahlenwert besitzen; 2) soll \(f_1(a, b)\) der Functionalgleichung \(F_1(a,a)= a\) genügen; 3) soll sie die Functionalgleichung \[ f_1[f_1(c,b),\quad f_1\{b,f_1(a,c)\}]= a \] befriedigen, wo \(a, b, c\) beliebige von einander unabhängige bedeuten. Alsdann ist, (bei Ausschluss derjenigen Zahlengebiete, die nur eine einzige Zahl enthalten würden), die Anzahl der welche die Function \(f_1(a, b)\) und ihre Argumente \(a, b\) können, nicht kleiner als 8, und die Definition der Function kann für ein Zahlensystem von acht Werten zum Abschluss gebracht werden. Für jedes Octupel von Werten, das durch zwei unter ihnen bestimmt wird, bestehen Beziehngen von Functionswerten, die aus einander hergeleitet werden können. Der Herr Verfasser bedient sich bei diesen Entwickelungen anstatt der Schreibweise \(f_1(a, b)\) der kürzeren \(ab\), welche er ``symbolisches Product'' nennt. Diese Bezeichnung ist durch den im Folgendem angewandten Algorithmus gerechtfertigt. Bei diesen Untersuchungen ergeben sich zugleich bemerkenswerte Aufschlüsse über gleichzeitige Geltung von Functionalgleichungen oder Gleichungsgruppen, sowie über gegenseitige Bedingungen oder auch einseitiges Zurfolgehaben solcher Gleichungen. Zum Schlusse werden für die behandelten Gruppen von Functionalgleichungen diejenigen Lösungen angegeben, welche auf dem Gebiete der linearen Functionen der gemeinen complexen Zahlen existiren.