The expansion of a function of one variable on a given interval in terms of the mean values of the function and its successive derivatives in the interval. (Q1549220)

Es soll ein Polynomen \(y\) vom Grade \(n\) in \(x\) durch die Bedingung bestimmt werden, dass die mittleren Werte des Polynomens und seiner \(n\) ersten Differentialquotienten in einem gegebenen Intervalle, etwa von \(-h\) bis \(+ h\), \(n + 1\) gegebenen Grössen \(Y_0,Y_1, \ldots Y_n\) gleich seien. Die zu erfüllenden Gleichungen sind also \[ \frac{1}{2h} \int^{+h}_{-h}\frac{d^{\kappa}y}{dx^{\kappa}}= Y_{\kappa}, \quad\kappa= 0,1,2 \ldots n. \] Die Analyse liefert für \(y\) den Ausdruck \[ (1) \quad y= P_0Y_0+P_1Y_1+ \ldots +P_nY_n, \] worin \(P_{\kappa}\) ein von den Werten der \(Y\) unabhängiges Polynomen vom Grade \(\kappa\) bedeutet, welches durch die \(\kappa +1\) Gleichungen \[ \int^{+h}_{-h} P_{\kappa}dx= 0,\quad\int^{+h}_{-h} \frac{dP_{\kappa}}{dx}= 0\;\ldots\;\int^{+h}_{-h} \frac{d^{\kappa}P_{\kappa}}{dx^{\kappa}}= 2h \] vollständig bestimmt ist. Aus ihnen folgt die Relation \[ P_{\kappa -1}= \frac{dP_\kappa}{dx}. \] Die \(P\) gehören daher in die von Herrn Appell (Ann. de l'Éc. N. (2) IX. 119-144, s. F. d. M. XII. 1880. 342, JFM 12.0342.02) untersuchte Klasse von Polynomen. Setzt man \[ \varphi (x,z)= P_0+P_1z+P_2z^2+ \ldots \] (erzeugende Function der \(P\)), so erhält man \[ \varphi (x,z)= \frac{2hz}{e^{hz}-e^{-hz}}e^{xz}, \] woraus die \(P\) zu berechnen sind. Die Werte der fünf ersten sind: \[ \begin{matrix} P_0= 1,\quad P_1= \frac{3x}{3.1!},\quad P_2= \frac{3x^2-h^2}{3.2!},\quad P_3= \frac{3x^3-3h^2x}{3.3!}, \\ P_4= \frac{3x^4-6h^2+\frac 75h^4.}{3.4!}. \end{matrix} \] Wenn \(h\) gegen Null convergirt, so geht die Reihe (1) für \(y\) in die Maclaurin'sche Reihe über.