On certain series for the expansion of functions of one variable. (Q1549221)

Eine Verallgemeinerung der von Herrn H. Léauté (C. R. XC. 1404; s. F. d. M. XII. 1880. 330, JFM 12.0330.04) für die Entwickelung einer Function mit einer Variabeln gegebenen Reihe. Ist \[ \lambda (\xi )= Ae^{a\xi}+Be^{b\xi}+Ce^{c\xi}+ \ldots \] und \(P_m(x)\) der Coefficient des \((m+l)^{\text{ten}}\) Gliedes in der Entwickelung von \(e^{\xi x}: \lambda (\xi )\) nach steigenden Potenzen von \(\xi\) so existirt eine Klasse von Functionen \(f(x)\), welche durch die Reihe \[ f(x)= [Af^{(m)}(a)+Bf^{(m)}(b)+Cf^{(m)}(c) + \ldots ]P_m(x) \] dargestellt werden, wenn \(\lambda (\xi )\) nicht die Wurzel Null hat. Kommt Null von der Ordnung \(k\) als Wurzel vor, so stellt die Reihe die Function \(f^{(k)}(x)\) dar. Ferner erhält Herr Halphén für die Entwickelung von \(f(x+y)\), für beliebige \(x\) und \(y\), nach den Ableitungen einer beliebigen Function die Reihe \[ P_0V(y)+P_1(x)V'(y)+P_2(x)V''(y)+ \ldots +P_m(x)V^{(m)}(y)+ \ldots , \] wo \(P_m(x)\) der Coefficient des \((m+1)^{\text{ten}}\) Gliedes in der Entwickelung der Function \[ \frac{e^{\xi x}}{\theta (x)e^{\xi x}dx} \] nach wachsenden Potenzen von \(\xi\) ist, und \(\theta (x)\) durch die Bedingung \[ \int^c_b \theta (x)f(x+y)dx= V(y) \] bestimmt wird. \(b\) und \(c\) sind willkürliche Constanten. Als besonderer Fall ersebeint die von Herrn Hermite C. R. LVIII. gegebene Reihe.