On some series for the expansion of functions of a single variable. (Q1549222)

Bei Aufstellung derjenigen Bedingungen, für welche die von Herrn Léauté (C. R. XC. 1404 und Résal J. (3) VII. 185; F. d. M. XII. 1880.330 (JFM 12.0330.04 und d. Bd. p. 330 (JFM 12.0683.03?)) gegebene Reihe existirt, ist der Herr Verfasser auf allgemeinere Reihen geführt worden, welche theoretisch nicht ohne Interesse sind. Sie liefern die Entwickelung einer Function entweder nach den Ableitungen einer anderen Function oder nach successiven Polynomen, die auseinander durch Integration hergeleitet werden können. Diese Polynome bilde eine grosse Klasse, auf welche zuerst Herr Appell (Ann. de l'É Norm. (2) IX. 119; s. F. d. M. XII. 1880. 342, JFM 12.0342.02) aufmerksam gemacht hat. Es ergiebt sich das folgende Resultat. Eine Function \(f(x)\), welche in jedem begrenzten Intervall in eine trigonometrische Reihe entwickelbar ist, lässt sich für alle reellen Werte de Variabeln in eine nach den Polynomen \(P_0,P_1(x),P_2(x), \ldots\) fortschreitende Reihe entwickeln. Der allgemeine Ausdruck dieser Polynome ist \[ P_m(x)= \frac{1}{1.2 \ldots m} \left( \frac{d^m}{d\xi^m}e^{\xi x+(-1)^na\xi^{2n}} \right)_{\xi =0} \] \[ =\frac{x^m}{m!}+(-1)^n \frac a1 \frac{x^{m-2n}}{(m-2n)!}+ \frac{a^2}{2!} \frac{x^{m-4n}}{(m-4n)!} + \ldots \] \[ +(-1)^sn \frac{a^s}{s!} \frac{x^{m-2sn}}{(m-2sn)!} \ldots , \] und das allgemeine Glied der Reihe: \[ \frac{(-1)^m}{2\pi} P_m(x) \int^{+\infty}_{-\infty}dx\int^{+\infty}_{-\infty} d\omega f(x)e^{-a\omega^{2n}}\omega^m \cos{} \left( x\omega +\frac{m\pi}{2} \right). \] Die Entwickelung ist unter der Bedingung möglich, dass sich die Integration nach \(x\) in dem Coefficienten eines jeden Gliedes \(\pm \infty\) erstrecken lässt.