On two algorithms analogous to that of the arithmetic geometric mean of two elements. (Q1549270)

Während der Algorithmus des arithmetisch-geometrischen Mittels, den der Verfasser in Borchardt J. LVIII. behandelt hat, durch die Gleichungen \[ m_1= \frac{m+n}{2},\quad n_1= \root\of{mn} \] gegeben ist, sind die beiden Algorithmen, welche hier selben Methode untersucht werden, bestimmt durch Gleichungssysteme: \[ (1) \quad\left\{ \begin{matrix} m_1= \frac{m+n}{2},\quad n_1= \root\of{m_1n}, \\ m_2= \frac{m_1+n_1}{2},\quad n_2= \root\of{m_2n_1}, \\ \hdotsfor1 \end{matrix} \right. \] und \[ \text{(2)} \quad\left\{ \begin{matrix} m_1= \frac{m+n_1}{2},\quad n_1= \root\of{mn}, \\ m_2= \frac{m_1+n_2}{2},\quad n_2= \root\of{m_1n_1}, \\ \hdotsfor1 \end{matrix} \right. \] Die gemeinschaftliche Grenze von \(m_i\) und \(n_i\) für wachsende Werte von \(i\) wird auch hier durch eine Differentialgleichung erster Ordnung gefunden.