On some polynomials in two variables analogous to the Jacobi polynomials. (Q1549291)

Es wird zuerst bewiesen, dass das Polynomen \[ U= x^{-a}y^{-b} \frac{d^{m+n}[x^{m+a}y^{n+b}(1-x-y)^{m+n+c}]}{dx^mdy^n} \] der Differentialgleichung \[ \begin{aligned} (7)\quad & (x-x^2) \frac{d^2U}{dx^2}-xy \frac{d^2U}{dxdy}+[a+1-(a-n-c+2)x] \\ -\,&(a+m+1)y \frac{dU}{dy}+(a+m+1)(m+n+c)U= 0 \end{aligned} \] und ebendarum auch der analogen \((7')\), welche durch Vertauschung von \(x,\;a\) mit \(y,\;b\) daraus hervorgeht, genügt. Durch die Substitution \[ U= (1-x-y)^cA_{m,n} \] erhält man ähnliche Differentialgleichungen für \(A_{m,n}\). Der hypergeometrischen Reihe analog ist nun die Doppelreihe \[ F_2(\alpha ,\beta ,\beta', \gamma ,\gamma',x,y)= \sum^{m=\infty}_{m=0} \sum^{n=\infty}_{n=0}\;\frac{(\alpha ,m+n)(\beta ,m)(\beta',n)}{(\gamma ,m)(\gamma' ,n)(1,m)(1,n)}x^my^n, \] wo \((\lambda ,\kappa )= \lambda (\lambda +1) \ldots (\lambda +\kappa -1)\). Diese genügt nach C. R. XC. 296 zwei Differentialgleichungen, welche für \[ \alpha= -(m+n+c);\quad\beta= a+m+1;\quad\beta'= b+n+1; \] \[ \gamma= a+1;\quad\gamma'= b+1 \] mit (7)\((7')\) identisch werden. Ferner lässt sich zeigen, dass dieser Wert von \(F_2\) ein Polynomen ist; denn er kann transformirt werden in einen andern mit den ganzen negativen Argumenten \(\beta ,\beta'\). Setzt man überdies \[ z= (a+1,m)(b+1,n)F_2= HF_2, \] so werden für \(x= 0,\;z, \frac{dz}{dx}, \frac{dz}{dy}, \frac{d^2z}{dxdy}\) identisch mit \(U\) und dessen Derivirten. Hieraus wird geschlossen, dass \[ A_{m,n}= H(1-x-y)^{-c}F_2[-(m+n+c),\;a+m+1,\;b+n+1, a+1,\;b+1,\;x,y]. \] Ferner wird das bestimmte Integral \[ J=\iint x^ay^b(1-x-y)^cA_{m,n}Bdxdy \] für den reellen Variationsumfang \(x {\overset{=} >}0;\;y {\overset{=} >} 0;\;1-x-y {\overset{=} >}0\) betrachtet, für \(A_{m,n}\) der Wert (2) gesetzt und durch \((m+n)\)-malige partielle Integration die Differentiation ganz auf den Factor \(B\) übergeführt. Ist dann \(B\) ein Polynomen, welches keinen Term \(x^my^n\) hat, so verschwindet \(J\). Für \(B= A_{\mu ,\nu}\) hingegen findet man: \[ J= (-1)^{m+n}\;\frac{d^{m+n}a_{\mu ,\nu}}{dx^mdy^n}\;\frac{\varGamma (m+a+1)\varGamma (n+b+1) \varGamma (m+n+c+1)}{\varGamma (2m+2n+a+b+c+3)}. \] Mit Anwendung dieser Eigenschaft kann man nun, wie leicht zu sehen, die Coefficienten der Reihenentwickelung einer Function von \(x, y\) nach Functionen \(A_{m,n}\) berechnen.