Ueber Involutionen auf ebenen Curven. (Q1549401)

Der Verfasser studirt in dieser Abhandlung die Involutionen \(n^{\text{ten}}\) Grades zunächst auf geraden Punktreihen und Curven mit dem Geschlechte Null und dann auf Curven höheren Geschlechts, aber letztere nur von ganz specieller Art. Ist eine Strahleninvolution durch zwei ihrere Gruppen gegeben, so werden mit Hülfe einer Curve \(n^{\text{ter}}\) Ordnung mit \((n -1)\)-fachem Punkte die übrigen Gruppen hergestellt. Fallen die Elemente jeder der beiden ersten Gruppen in je ein Element zusammen, so ist die Involution eine cyklische. Die Betrachtung einer solchen auf einer Curve \(n^{\text{ter}}\) Ordnung mit \((n -1)\)-fachem Punkte, welche zwei tangenten besitzt, die je in \(n\) aufeinander folgenden Punkten die Curve treffen, giebt Veranlassung zur Construction von \(x=\root n\of y\), wenn \(y\) beliebig gegeben ist. Ist eine Involution \(n^{\text{ten}}\) Grades auf einer Curve mit \(p =0\) gegeben, so umhüllen die Verbindungslinien der Punkte einer Gruppe eine ``Involutionscurve'', deren Geschlecht nicht abhängt von der besonderen Natur der ersten Curve und das Geschlecht der Involution heisst. Es werden dann die verschiedenen Involutionen \(3^{\text{ten}}\) und \(4^{\text{ten}}\) Grades aufgeführt, und es wird besonders als Träger der Involution eine rationale Curve \(3^{\text{ter}}\) oder \(4^{\text{ter}}\) Ordnung angenommen. Die Betrachtungen schliessen sich enge an diejenigen an, welche Em. Weyr über Involutionen aufgestellt hat, und liefern analoge Resultate. Im zweiten Teile betrachtet der Verfasser Curven höheren Geschlechtes und die auf ihnen befindlichen Involutionen. Er giebt eine einfache Construction der Curve vierter Ordnung mit zwei Doppelpunkten und ist dadurch im Stande, auf leichte Art die mannichfachen Formen, welche die Curve annehmen kann, zu erörtern. Diese sind aufgezeichnet und bieten grosses Interesse.