Problem concerning third order plane curves (Q1549536)

Man verdankt Herrn Cremona den Satz, dass sich die Cayley'sche und Hesse'sche Curve eines Kegelschnittnetzes in neun Punkten berühren. Da sich jede Curve dritter Ordnung auf dreifache Art als Hesse'sche Curve eines Netzes ansehen lässt, so existiren drei Cayley'sche Curven, welche in der genannten Beziehung zu ihr stehen. Herr Halphén untersucht nun, ob diese Curven dritter Classe die einzigen sind, und findet, dass die äquianharmonische \(C_3\) ausser den drei Cayley'schen Curven noch ein einfach unendliches System von neunfach berührenden äquianharmonischen Curven dritter Classe besitzt, dass dagegen bei einer allgemeinen \(C_3\) die drei ersteren die einzige Lösung bilden. Die Untersuchung über die äquianharmonische \(C_3\) wird mit elementaren Mitteln geführt; gleichzeitig wird auch ein Beweis des Cremona'schen Satzes gegeben. Für den allgemeinen Fall aber bedient sich der Verfasser der elliptischen Functionen. Soll nämlich überhaupt eine Curve dritter Classe \(\alpha\) eine \(C_3\), deren Coordinaten eindeutige doppelt-periodische Functionen von \(u\) sind, in neun Punkten berühren, deren Argumente durch \(u_1u_2 \ldots u_9\) bezeichnet werden, so ist bekanntlich: \[ \varSigma u_i \equiv 0, \; \frac {\omega}2, \; \frac {\omega'}2, \; \frac{\omega+\omega'}2 ( \text{mod} \; \omega, \omega'). \] Da der erste Fall nicht eintreten kann (wie besonders gezeigt wird), so bleiben nur die drei anderen übrig, welche sich grade auf die drei Cayley'schen Curven beziehen. Und dass endlich ausser diesen keine anderen Curven der verlangten Art existiren, ergiebt sich in folgender Weise: Gäbe es noch eine Curve dritter Classe \(\beta\) dieser Art, so würde für eine der drei Cayley'schen Curven \(\alpha\) der Quotient \(\frac{\beta}{\alpha}\) das Quadrat einer eindeutigen doppelt-periodischen Function, welche sich auf eine Constante reducirt.