Ueber das Parallelhexagon auf dem geradlinigen Hyperboloid. (Q1549621)

Die Arbeit beschäftigt sich damit, für gewisse namentlich von Herrn \textit{H. Vogt} [Borchardt J. 86, 297--317 (1878; JFM 11.0434.02)) untersuchte Eigenschaften des ``gleichseitigen'' Hyperboloids die analogen Eigenschaften des allgemeinen Hyperboloids aufzusuchen, aus denen jene durch Specialisirung gewonnen werden können. Hierbei wird auch eine Anzahl teils neuer, teils wenig bekannter Sätze der elementaren Stereometrie gewonnen, von denen einige sich, wie der Herr Verfasser bemerkt, in \textit{R. Balzer}'s [Elementen der Mathematik] finden. Uebrigens hat, wie der Herr Verfasser ebenfalls angiebt, Herr \textit{G. Bauer} [Münch. Ber. 10, 635--640 (1980; JFM 12.0506.02)] bereits nachgewiesen, dass sich eine der von Herrn Vogt beim gleichseitigen Hyperboloid gefundenen Eigenschaften direct auf das allgemeine Hyperboloid übertragen lässt. Die wichtigsten Resultate der Arbeit lassen sich in folgenden Sätzen aussprechen: 1. Irgend drei parallele Paare von Erzeugenden eines Hyperboloids lassen sich zu einem Parallelhexagon zusammenreihen. Die Berührungsebenen in den sechs Ecken bilden ein Parallelepiped, von dem drei räumliche Diagonalen die Verbindungslinien der Gegenecken des Hexagons sind, während die vierte die beiden nicht auf dem Hyperboloid liegenden Ecken verbindet. Die Summe der Quadrate der drei ersten Diagonalen, vermindert um das Quadrat der vierten, ist von unveränderlichem Werte, wie auch die drei parallelen Paare von Erzeugenden gewählt werden, und zwar gleich \[ 8(P_a+P_b+P_c), \] wo \(P_a,\) \(P_b,\) \(P_c,\) die Potenzen der Punktinvolutionen auf den drei Hauptaxen bedeuten. (Ist also die Gleichung des Hyperboloids \[ \frac{x^2}{a^2}+ \frac{y^2}{b^2}- \frac{z^2}{c^2}=1, \] so ist \[ P_a=a^2, \quad P_b=b^2, \quad P_c=-c^2). \] 2. Von den sechs Diagonalparallelogrammen desselben Parallelepipeds haben drei je ein Paar parallel Erzeugender zu Gegenseiten, die drei übrigen nicht. Die Summe der Quadrate der drei letzten, ist ebenfalls von unveränderlichem Werte und zwar gleich \[ 16(P_a P_b+P_b P_c+P_c P_a). \] 3. Das Volumen ist gleich \[ -16(P_a P_b P_c), \] wie bereits Herr Bauer nachgewiesen hat. Dieselben Sätze lassen sich teilweise auch als Sätze des Hexagons und des Octaeders aussprechen, welches die sechs Ecken des Hexagons zu Ecken hat, wenn man gewisse einfach zu erweisende Sätze anwendet. Für das Hexagon ergiebt sich aus dem ersten Satze, dass die Summe der Quadrate der drei Hauptdiagonalen vermindert um die Summe der Quadrate der sechs Seiten constant ist, und zwar gleich \[ 4(P_a P_b P_c). \] Für das Octaeder folgt: ``Die Summe der Quadrate der drei (windschiefen) Axen des Octaeders plus der Summe der Quadrate derjenigen sechs Kanten, welche Erzeugende des Octaeders sind, minus der Summe der Quadrate der sechs übrigen Kanten, ist constant gleich \[ 8(P_a P_b P_c). \text{''} \] Aus dem zweiten und dritten Satze ergeben sich Folgerungen, welche wir nur für das Octaeder aussprechen, nämlich: ``Die Summe der Quadrate der beiden Seitenflächen des Octaeders, welche nicht Tangentialebenen des Hyperboloids sind, vermindert um die Summe der Quadrate der sechs übrigen ist constant gleich \[ 4(P_a P_b+P_b P_c+P_cP_a). \text{''} \] Der Inhalt des Octaeders ist constant gleich \[ - \frac{64}9 P_a.P_b.P_c \] Die zahlreichen beiläufig sich ergebenden Sätze der elementaren Stereometrie müssen hier übergangen werden.